Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA=3 дм, CB=2 дм, CD=1 дм.

**Ответ: $\sqrt{6}$ дм$^2$** **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$ $CD \perp (ABC)$ $CA = 3 \text{ дм}$ $CB = 2 \text{ дм}$ $CD = 1 \text{ дм}$ **Решение:** 1. Найдём площадь основания $\triangle ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \text{ дм}^2$. 2. Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \text{ дм}$. 3. Проведём высоту $CH$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AB$. $CH = \frac{CA \cdot CB}{AB} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \text{ дм}$. 4. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $CD \perp (ABC)$ и $CH \perp AB$, то наклонная $DH \perp AB$. Значит, $DH$ — высота $\triangle ABD$. 5. Из прямоугольного $\triangle DCH$ (где $\angle C = 90^{\circ}$) найдём $DH$: $DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{13 + 36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}} \text{ дм}$. 6. Найдём площадь $\triangle ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5 \text{ дм}^2$. **Допущение:** В тексте на фото значение CA частично обрезано, по контексту и стандартным задачам принято $CA = 3$ дм.