Решите неравенство $x \le \frac{25}{x}$.

Для начала перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю: $$x \le \frac{25}{x}$$ $$x - \frac{25}{x} \le 0$$ $$\frac{x^2 - 25}{x} \le 0$$ Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$\frac{(x-5)(x+5)}{x} \le 0$$ Теперь найдем нули числителя и знаменателя: Числитель равен 0 при $x-5=0 \Rightarrow x=5$ и $x+5=0 \Rightarrow x=-5$. Знаменатель равен 0 при $x=0$. Так как $x$ находится в знаменателе, $x \ne 0$. Расставим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах: Интервалы: $(-\infty; -5]$, $[-5; 0)$, $(0; 5]$, $[5; +\infty)$. 1. При $x < -5$, например, $x = -6$: $\frac{(-6-5)(-6+5)}{-6} = \frac{(-11)(-1)}{-6} = \frac{11}{-6} < 0$. Это подходит. 2. При $-5 < x < 0$, например, $x = -1$: $\frac{(-1-5)(-1+5)}{-1} = \frac{(-6)(4)}{-1} = \frac{-24}{-1} = 24 > 0$. Это не подходит. 3. При $0 < x < 5$, например, $x = 1$: $\frac{(1-5)(1+5)}{1} = \frac{(-4)(6)}{1} = \frac{-24}{1} = -24 < 0$. Это подходит. 4. При $x > 5$, например, $x = 6$: $\frac{(6-5)(6+5)}{6} = \frac{(1)(11)}{6} = \frac{11}{6} > 0$. Это не подходит. Учитывая, что $x \ne 0$, но $x$ может быть равен $-5$ и $5$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -5] \cup (0; 5]$