Решите неравенство $x \le \frac{25}{x}$

Нам нужно решить неравенство $x \le \frac{25}{x}$. Сначала перенесём $\frac{25}{x}$ в левую часть: $$x - \frac{25}{x} \le 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - 25}{x} \le 0$$ Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$\frac{(x-5)(x+5)}{x} \le 0$$ Теперь найдём, при каких значениях $x$ числитель и знаменатель равны нулю: $$(x-5)(x+5) = 0 \Rightarrow x = 5, x = -5$$ $$x = 0$$ Эти значения разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -5]$, $[-5, 0)$, $(0, 5]$, $[5, +\infty)$. Далее мы можем использовать метод интервалов, чтобы определить знаки выражения $\frac{(x-5)(x+5)}{x}$ на каждом интервале. Проверим знак на интервалах: 1. Интервал $(-\infty, -5]$: возьмём $x = -6$. Тогда $\frac{(-6-5)(-6+5)}{-6} = \frac{(-11)(-1)}{-6} = \frac{11}{-6} < 0$. Это подходит. 2. Интервал $[-5, 0)$: возьмём $x = -1$. Тогда $\frac{(-1-5)(-1+5)}{-1} = \frac{(-6)(4)}{-1} = \frac{-24}{-1} = 24 > 0$. Это не подходит. 3. Интервал $(0, 5]$: возьмём $x = 1$. Тогда $\frac{(1-5)(1+5)}{1} = \frac{(-4)(6)}{1} = -24 < 0$. Это подходит. 4. Интервал $[5, +\infty)$: возьмём $x = 6$. Тогда $\frac{(6-5)(6+5)}{6} = \frac{(1)(11)}{6} = \frac{11}{6} > 0$. Это не подходит. Важно помнить, что $x \ne 0$, так как $x$ находится в знаменателе. Объединяя подходящие интервалы, получаем: **Ответ:** $x \in (-\infty, -5] \cup (0, 5]$