Решите неравенство $x \le \frac{25}{x}$

Чтобы решить неравенство $$x \le \frac{25}{x}$$, нужно его преобразовать. Сначала перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался ноль: $$x - \frac{25}{x} \le 0$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x \cdot x - 25}{x} \le 0$$ $$\frac{x^2 - 25}{x} \le 0$$ Разложим числитель как разность квадратов: $$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x} \le 0$$ Теперь найдем нули числителя и знаменателя. Они разбивают числовую прямую на интервалы: Нули числителя: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ и $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$. Нуль знаменателя: $x = 0$. Отметим эти точки на числовой прямой: $-5, 0, 5$. Рассмотрим знаки выражения $\frac{(x - 5)(x + 5)}{x}$ на каждом интервале: 1. Если $x < -5$, например $x = -6$: $\frac{(-6 - 5)(-6 + 5)}{-6} = \frac{(-11)(-1)}{-6} = \frac{11}{-6} < 0$. Значит, на интервале $(-\infty; -5]$ выражение отрицательно. 2. Если $-5 < x < 0$, например $x = -1$: $\frac{(-1 - 5)(-1 + 5)}{-1} = \frac{(-6)(4)}{-1} = \frac{-24}{-1} = 24 > 0$. Значит, на интервале $[-5; 0)$ выражение положительно. 3. Если $0 < x < 5$, например $x = 1$: $\frac{(1 - 5)(1 + 5)}{1} = \frac{(-4)(6)}{1} = \frac{-24}{1} < 0$. Значит, на интервале $(0; 5]$ выражение отрицательно. 4. Если $x > 5$, например $x = 6$: $\frac{(6 - 5)(6 + 5)}{6} = \frac{(1)(11)}{6} = \frac{11}{6} > 0$. Значит, на интервале $[5; \infty)$ выражение положительно. Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Точка $x=0$ исключается, так как находится в знаменателе. Из анализа знаков видно, что выражение меньше или равно нулю на интервалах $(-\infty; -5]$ и $(0; 5]$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -5] \cup (0; 5]$