Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, если стороны оснований равны 9 дм и 12 дм, а высота равна 1 дм.

1. Сначала найдём апофемы оснований. Апофема правильного треугольника (половина высоты) вычисляется по формуле: $a = \frac{s}{2\sqrt{3}}$. Для нижнего основания ($s_1 = 12$ дм): $$a_1 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\text{ дм}$$ Для верхнего основания ($s_2 = 9$ дм): $$a_2 = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ дм}$$ 2. Теперь найдём апофему усечённой пирамиды (h_бок). Мы можем рассмотреть прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды, апофемами оснований и апофемой боковой грани. Катеты этой трапеции равны высоте пирамиды и разности апофем оснований, а гипотенуза — апофема боковой грани. $$h_{\text{бок}}^2 = H^2 + (a_1 - a_2)^2$$ $$h_{\text{бок}}^2 = 1^2 + \left(2\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2$$ $$h_{\text{бок}}^2 = 1 + \left(\frac{4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2}\right)^2$$ $$h_{\text{бок}}^2 = 1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$ $$h_{\text{бок}}^2 = 1 + \frac{3}{4}$$ $$h_{\text{бок}}^2 = \frac{4+3}{4} = \frac{7}{4}$$ $$h_{\text{бок}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}\text{ дм}$$ 3. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) h_{\text{бок}}$$ Где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований. $P_1 = 3 \cdot 12 = 36$ дм $P_2 = 3 \cdot 9 = 27$ дм $$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (36 + 27) \frac{\sqrt{7}}{2}$$ $$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (63) \frac{\sqrt{7}}{2}$$ $$S_{\text{бок}} = \frac{63\sqrt{7}}{4}\text{ дм}^2$$ **Ответ:** $\frac{63\sqrt{7}}{4}\text{ дм}^2$