Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

**Ответ: высота пирамиды $H = \sqrt{\frac{8}{3}}$ дм (или $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ дм), апофема $h = \sqrt{3}$ дм.** **Решение:** 1. **Найдем высоту $H$ пирамиды.** В правильной треугольной усеченной пирамиде высота соединяет центры оснований. Радиус описанной окружности нижнего основания ($a_1 = 4$): $R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$. Радиус описанной окружности верхнего основания ($a_2 = 2$): $R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$. Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой, боковым ребром ($L = 2$) и радиусами $R_1$ и $R_2$. Из теоремы Пифагора: $H^2 = L^2 - (R_1 - R_2)^2$ $H^2 = 2^2 - (\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}})^2 = 4 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ $H = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ (дм). 2. **Найдем апофему $h$ (высоту боковой грани).** Радиус вписанной окружности нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$. Радиус вписанной окружности верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды, апофемой и радиусами $r_1$ и $r_2$: $h^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$ $h^2 = \frac{8}{3} + (\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{8}{3} + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$ $h = \sqrt{3}$ (дм).