Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если стороны основания равны 10, а боковые рёбра равны 13.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из площадей трёх одинаковых равнобедренных треугольников. 1. Найдём высоту (апофему) боковой грани. Каждая боковая грань — это равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13 и 10. Высота этого треугольника, опущенная на сторону основания, делит её пополам. Получаются два прямоугольных треугольника с гипотенузой 13 и одним катетом 10/2 = 5. По теореме Пифагора находим высоту $h_b$: $$h_b^2 + 5^2 = 13^2$$ $$h_b^2 + 25 = 169$$ $$h_b^2 = 169 - 25$$ $$h_b^2 = 144$$ $$h_b = \sqrt{144} = 12$$ 2. Найдём площадь одной боковой грани. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона основания} \cdot h_b$$ $$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12$$ $$S_{грани} = 5 \cdot 12 = 60$$ 3. Найдём площадь боковой поверхности. В правильной треугольной пирамиде 3 боковые грани, и они все одинаковые: $$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани}$$ $$S_{бок} = 3 \cdot 60 = 180$$ **Ответ:** 180