Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

**Ответ: Высота $H = \sqrt{\frac{8}{3}}$ дм; Апофема $h = \sqrt{\frac{11}{4}}$ дм.** **Дано:** Правильная треугольная усеченная пирамида. Сторона нижнего основания $a_1 = 4$ дм. Сторона верхнего основания $a_2 = 2$ дм. Боковое ребро $l = 2$ дм. **Решение:** 1. **Найдем радиусы описанных окружностей оснований:** В правильном треугольнике радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. $R_1 = \frac{4}{\sqrt{3}}$ дм (нижнее). $R_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ дм (верхнее). 2. **Найдем высоту ($H$) пирамиды:** Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды, боковым ребром и радиусами описанных окружностей. Из теоремы Пифагора: $H^2 = l^2 - (R_1 - R_2)^2$ $H^2 = 2^2 - (\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}})^2 = 4 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ $H = \sqrt{\frac{8}{3}}$ дм. 3. **Найдем радиусы вписанных окружностей (апофемы оснований):** $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. $r_1 = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ дм. $r_2 = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ дм. 4. **Найдем апофему ($h$) пирамиды:** Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды, апофемой боковой грани и радиусами вписанных окружностей. $h^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$ $h^2 = \frac{8}{3} + (\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{8}{3} + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$ (если считать через проекцию). *Уточнение:* Проверим через боковую грань (равнобедренную трапецию со сторонами 4, 2 и боковым ребром 2). Высота боковой грани (апофема): $h^2 = l^2 - (\frac{a_1 - a_2}{2})^2 = 2^2 - (\frac{4 - 2}{2})^2 = 4 - 1^2 = 3$ $h = \sqrt{3}$ дм.