Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+3)-6 на отрезке [-5; -3,5].

Чтобы найти наибольшее значение функции $y=(x+4)^2(x+3)-6$ на отрезке $[-5; -3,5]$, нужно сделать следующие шаги: 1. Раскрыть скобки и привести функцию к многочлену. $$y = (x^2 + 8x + 16)(x+3) - 6$$ $$y = x^3 + 3x^2 + 8x^2 + 24x + 16x + 48 - 6$$ $$y = x^3 + 11x^2 + 40x + 42$$ 2. Найти производную функции $y'(x)$. $$y' = 3x^2 + 22x + 40$$ 3. Приравнять производную к нулю и найти критические точки (корни уравнения). $$3x^2 + 22x + 40 = 0$$ Для нахождения корней используем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 - 2}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$ $$x_2 = \frac{-22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 + 2}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \approx -3,33$$ 4. Определить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку $[-5; -3,5]$. Точка $x_1 = -4$ принадлежит отрезку $[-5; -3,5]$, так как $-5 \le -4 \le -3,5$. Точка $x_2 = -\frac{10}{3} \approx -3,33$ не принадлежит отрезку $[-5; -3,5]$, так как $-3,33 > -3,5$. 5. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку. При $x = -5$: $$y(-5) = (-5+4)^2(-5+3)-6 = (-1)^2(-2)-6 = 1 \cdot (-2) - 6 = -2 - 6 = -8$$ При $x = -4$ (критическая точка): $$y(-4) = (-4+4)^2(-4+3)-6 = (0)^2(-1)-6 = 0 - 6 = -6$$ При $x = -3,5$: $$y(-3,5) = (-3,5+4)^2(-3,5+3)-6 = (0,5)^2(-0,5)-6 = 0,25 \cdot (-0,5) - 6 = -0,125 - 6 = -6,125$$ 6. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее. Значения функции: $-8$, $-6$, $-6,125$. Наибольшее значение равно $-6$. **Ответ:** $-6$