Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)²(x+3)-6 на отрезке [-5, -2.5].

Чтобы найти наибольшее значение функции $y=(x+4)^2(x+3)-6$ на отрезке $[-5, -2.5]$, нужно выполнить следующие шаги: 1. Раскроем скобки в выражении для функции: $$y = (x^2 + 8x + 16)(x+3) - 6$$ $$y = x^3 + 3x^2 + 8x^2 + 24x + 16x + 48 - 6$$ $$y = x^3 + 11x^2 + 40x + 42$$ 2. Найдем производную функции: $$y' = (x^3 + 11x^2 + 40x + 42)'$$ $$y' = 3x^2 + 22x + 40$$ 3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$3x^2 + 22x + 40 = 0$$ Используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4$$ $$x_1 = \frac{-22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 - 2}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$ $$x_2 = \frac{-22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 + 2}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \approx -3.33$$ 4. Проверим, какие из этих точек принадлежат отрезку $[-5, -2.5]$: - $x_1 = -4$ принадлежит отрезку $[-5, -2.5]$. - $x_2 = -\frac{10}{3} \approx -3.33$ принадлежит отрезку $[-5, -2.5]$. 5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: - При $x = -5$: $$y(-5) = (-5+4)^2(-5+3)-6 = (-1)^2(-2)-6 = 1(-2)-6 = -2-6 = -8$$ - При $x = -2.5$: $$y(-2.5) = (-2.5+4)^2(-2.5+3)-6 = (1.5)^2(0.5)-6 = 2.25 \cdot 0.5 - 6 = 1.125 - 6 = -4.875$$ - При $x = -4$: $$y(-4) = (-4+4)^2(-4+3)-6 = (0)^2(-1)-6 = 0-6 = -6$$ - При $x = -\frac{10}{3}$: $$y(-\frac{10}{3}) = (-\frac{10}{3}+4)^2(-\frac{10}{3}+3)-6$$ $$y(-\frac{10}{3}) = (-\frac{10}{3}+\frac{12}{3})^2(-\frac{10}{3}+\frac{9}{3})-6$$ $$y(-\frac{10}{3}) = (\frac{2}{3})^2(-\frac{1}{3})-6$$ $$y(-\frac{10}{3}) = \frac{4}{9} \cdot (-\frac{1}{3})-6 = -\frac{4}{27}-6 = -6 \frac{4}{27} \approx -6.148$$ 6. Сравниваем полученные значения: $-8$, $-4.875$, $-6$, $-6 \frac{4}{27}$. Наибольшее значение функции равно $-4.875$. **Ответ:** $-4.875$