Найдите наибольшее значение функции y = (x - 2)²eˣ на отрезке [-5; 1].

**Ответ: 49e^{-5}** Для нахождения наибольшего значения функции $y = (x - 2)^2 e^x$ на отрезке $[-5; 1]$ выполним следующие шаги: 1. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$y' = ((x - 2)^2)' e^x + (x - 2)^2 (e^x)'$$ $$y' = 2(x - 2) e^x + (x - 2)^2 e^x$$ $$y' = e^x (x - 2)(2 + x - 2)$$ $$y' = x(x - 2) e^x$$ 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$x(x - 2) e^x = 0$$ Так как $e^x > 0$ всегда, то: $x_1 = 0$ $x_2 = 2$ 3. Отберем точки, принадлежащие отрезку $[-5; 1]$: $0 \in [-5; 1]$ $2 \notin [-5; 1]$ 4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-5$ и $x=1$: - При $x = 0$: $y(0) = (0 - 2)^2 e^0 = 4 \cdot 1 = 4$ - При $x = 1$: $y(1) = (1 - 2)^2 e^1 = 1 \cdot e = e \approx 2,718$ - При $x = -5$: $y(-5) = (-5 - 2)^2 e^{-5} = 49 e^{-5} = \frac{49}{e^5} \approx \frac{49}{148,4} \approx 0,33$ 5. Сравним полученные значения: $4 > e$ и $4 > 49e^{-5}$. Наибольшее значение равно 4.