Самостоятельная работа по теме «Теорема Пифагора. Формула Герона». Вариант №1. 1. В прямоугольном треугольнике $a$ и $b$ - катеты. Найдите: $b$, если $a=5$, $c=13$

1. В прямоугольном треугольнике катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Нам дано $a=5$ и $c=13$. Подставляем эти значения в формулу: $$5^2 + b^2 = 13^2$$ $$25 + b^2 = 169$$ $$b^2 = 169 - 25$$ $$b^2 = 144$$ $$b = \sqrt{144}$$ $$b = 12$$ **Ответ: $b=12$** 2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC=16$ см, высота $BH=6$ см. Так как треугольник равнобедренный, высота $BH$ является медианой, поэтому $AH = HC = AC/2 = 16/2 = 8$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора $BC^2 = BH^2 + HC^2$. $$BC^2 = 6^2 + 8^2$$ $$BC^2 = 36 + 64$$ $$BC^2 = 100$$ $$BC = \sqrt{100}$$ $$BC = 10$$ см. Боковая сторона $AB$ равна $BC$, значит $AB=10$ см. **Ответ: $10$ см** 3. Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Нам дано $AB=13$ см (сторона ромба) и $BD=10$ см (одна из диагоналей). Тогда $BO = BD/2 = 10/2 = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. По теореме Пифагора $AO^2 + BO^2 = AB^2$. $$AO^2 + 5^2 = 13^2$$ $$AO^2 + 25 = 169$$ $$AO^2 = 169 - 25$$ $$AO^2 = 144$$ $$AO = \sqrt{144}$$ $$AO = 12$$ см. Тогда вторая диагональ $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 12 = 24$ см. Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей. $$S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24$$ $$S = 5 \cdot 24$$ $$S = 120$$ кв. см. **Ответ: $AC=24$ см, площадь ромба $120$ кв. см.** 4. В треугольнике $ABC$ стороны $AB=13$ см, $BC=14$ см, $AC=15$ см. 1) Вычислить высоту к стороне $AC$. Обозначим высоту к стороне $AC$ как $h_b$ (или $BH$). Площадь треугольника можно найти по формуле Герона, а затем из формулы площади $S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$ найти высоту. Для формулы Герона сначала найдем полупериметр $p$: $$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$ см. Площадь $S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$ $$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$$ $$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$$ $$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$$ $$S = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$$ $$S = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$ кв. см. Теперь найдем высоту $h_b$ к стороне $AC$: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b$$ $$84 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_b$$ $$168 = 15 \cdot h_b$$ $$h_b = \frac{168}{15} = \frac{56}{5} = 11.2$$ см. **Высота к стороне $AC$ равна $11.2$ см.** 2) Используя формулу Герона, площадь уже была найдена в пункте 1. $$S = 84$$ кв. см. **Ответ: Площадь треугольника $ABC$ равна $84$ кв. см.**