Самостоятельная работа по теме Теорема Пифагора. Формула Герона. Вариант №1. 1. В прямоугольном треугольнике a и b - катеты. Найдите: b, если a=5, c=13.

1. **Ответ: $b = 12$** В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$ $5^2 + b^2 = 13^2$ $25 + b^2 = 169$ $b^2 = 169 - 25 = 144$ $b = \sqrt{144} = 12$ 2. **Ответ: боковая сторона равна 10 см** В равнобедренном треугольнике высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, является медианой: $AH = HC = AC : 2 = 16 : 2 = 8$ (см). Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($BH \perp AC$): $AB^2 = AH^2 + BH^2$ $AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ $AB = \sqrt{100} = 10$ (см). 3. **Ответ: $AC = 24$ см, $S = 120$ см$^2$** Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник $AOB$ (угол $O = 90^\circ$): $BO = BD : 2 = 10 : 2 = 5$ (см). $AO^2 = AB^2 - BO^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $AO = \sqrt{144} = 12$ (см). $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 12 = 24$ (см). Площадь ромба через диагонали: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ (см$^2$). 4. **Ответ: $S = 84$ см$^2$** 1) Найдём площадь через высоту к стороне $AC$. Пусть $h$ — высота к $AC$, $x$ — отрезок $AC$. По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный: $13^2 - x^2 = 14^2 - (15-x)^2$ $169 - x^2 = 196 - (225 - 30x + x^2)$ $169 - x^2 = 196 - 225 + 30x - x^2$ $169 = -29 + 30x$ $30x = 198 \Rightarrow x = 6,6$ $h = \sqrt{13^2 - 6,6^2} = \sqrt{169 - 43,56} = \sqrt{125,44} = 11,2$ $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 11,2 = 84$ (см$^2$). 2) По формуле Герона: Полупериметр $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ (см). $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ (см$^2$).