1) В прямоугольном треугольнике a и b - катеты. Найдите: b, если a = 5, c = 7.

1) В прямоугольном треугольнике катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ Нам дано $a = 5$ и $c = 7$. Нужно найти $b$: $$5^2 + b^2 = 7^2$$ $$25 + b^2 = 49$$ $$b^2 = 49 - 25$$ $$b^2 = 24$$ $$b = \sqrt{24}$$ Выделим множитель из-под корня: $$b = \sqrt{4 \cdot 6}$$ $$b = 2\sqrt{6}$$ **Ответ: $b = 2\sqrt{6}$** 2) В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 14 см, высота BH = 7 см. Высота BH в равнобедренном треугольнике является также медианой, поэтому AH = HC. $$AH = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7\text{ см}$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$AB^2 = 7^2 + 7^2$$ $$AB^2 = 49 + 49$$ $$AB^2 = 98$$ $$AB = \sqrt{98}$$ Выделим множитель из-под корня: $$AB = \sqrt{49 \cdot 2}$$ $$AB = 7\sqrt{2}$$ **Ответ: $7\sqrt{2}$ см** 3) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Дано $AB = 15$ см, $BD = 18$ см. Значит $BO = \frac{BD}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. По теореме Пифагора: $$AO^2 + BO^2 = AB^2$$ $$AO^2 + 9^2 = 15^2$$ $$AO^2 + 81 = 225$$ $$AO^2 = 225 - 81$$ $$AO^2 = 144$$ $$AO = \sqrt{144}$$ $$AO = 12\text{ см}$$ Тогда диагональ $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 12 = 24$ см. Площадь ромба можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$ Где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей. $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18$$ $$S = 12 \cdot 18$$ $$S = 216\text{ см}^2$$ **Ответ: $AC = 24$ см, площадь ромба $S = 216$ см$^2$** 4) **Допущение:** В задании указан треугольник MPK, а в вопросе требуется найти площадь треугольника ABC. Я решу задачу для треугольника MPK, так как его стороны указаны. Для нахождения площади треугольника MPK по трём сторонам будем использовать формулу Герона. Стороны треугольника: $MK = 20$ см, $MP = 13$ см, $PK = 21$ см. Сначала найдем полупериметр $p$: $$p = \frac{MK + MP + PK}{2}$$ $$p = \frac{20 + 13 + 21}{2}$$ $$p = \frac{54}{2}$$ $$p = 27\text{ см}$$ Теперь используем формулу Герона: $$S = \sqrt{p(p-MK)(p-MP)(p-PK)}$$ $$S = \sqrt{27(27-20)(27-13)(27-21)}$$ $$S = \sqrt{27 \cdot 7 \cdot 14 \cdot 6}$$ Разложим числа на множители для удобства: $$S = \sqrt{(3^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)}$$ $$S = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2}$$ $$S = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1$$ $$S = 2 \cdot 9 \cdot 7$$ $$S = 18 \cdot 7$$ $$S = 126\text{ см}^2$$ **Ответ: $S = 126$ см$^2$**