Найти $b$, если $a = 5$, $c = 13$ в прямоугольном треугольнике

1) В прямоугольном треугольнике катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$ связаны теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим известные значения: $5^2 + b^2 = 13^2$. $25 + b^2 = 169$. $b^2 = 169 - 25$. $b^2 = 144$. $b = \sqrt{144}$. $b = 12$ см. **Ответ: 12 см** 2) В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 16$ см, высота $BH = 6$ см. Так как треугольник равнобедренный, высота $BH$ является медианой, значит $AH = HC = AC / 2 = 16 / 2 = 8$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора $BC^2 = BH^2 + HC^2$. $BC^2 = 6^2 + 8^2$. $BC^2 = 36 + 64$. $BC^2 = 100$. $BC = \sqrt{100}$. $BC = 10$ см. **Ответ: 10 см** 3) Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. То есть $AO = OC$, $BO = OD$. Нам дано $AC = 13$ см, $BD = 10$ см. Значит $AO = AC / 2 = 13 / 2 = 6.5$ см. И $BO = BD / 2 = 10 / 2 = 5$ см. Площадь ромба можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей. $S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 130 = 65$ см$^2$. **Ответ: 65 см$^2$** 4) В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр $p$: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см. Теперь используем формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$. $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$. $S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$. $S = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$. $S = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$ см$^2$. **Ответ: 84 см$^2$**