Самостоятельная работа по теме «Теорема Пифагора». Вариант 4. Задания 6-10: найти гипотенузу, катет, сторону ромба, диагональ прямоугольника и площадь равнобедренного треугольника.

6. По теореме Пифагора $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. $c = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$ см. **Ответ: $\sqrt{65}$ см**. 7. Из теоремы Пифагора катет $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. $b = \sqrt{12^2 - 10^2} = \sqrt{144 - 100} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$ см. **Ответ: $2\sqrt{11}$ см**. 8. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $\frac{12}{2} = 6$ см и $\frac{16}{2} = 8$ см. Сторона ромба — это гипотенуза. $a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см. **Ответ: 10 см**. 9. Диагональ прямоугольника — это гипотенуза треугольника с катетами, равными сторонам. $d = \sqrt{6^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$ см. **Ответ: $\sqrt{85}$ см**. 10. Проведём высоту к основанию, она является медианой. В прямоугольном треугольнике гипотенуза (боковая сторона) равна $11$ см, а катет (половина основания) равен $\frac{10}{2} = 5$ см. Высота $h = \sqrt{11^2 - 5^2} = \sqrt{121 - 25} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$ см. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4\sqrt{6} = 20\sqrt{6}$ см$^2$. **Ответ: $20\sqrt{6}$ см$^2$**.