Вычислите: 27.3. а) 2 sin 15° cos 15°

Для решения этих примеров мы будем использовать формулы двойного угла: 1. Синус двойного угла: $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$ 2. Косинус двойного угла: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$ 3. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ **27.3.** а) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \mathbf{0,5}$ б) $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ + \sin^2 75^\circ = (\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ) - \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 - \sin 150^\circ = 1 - 0,5 = \mathbf{0,5}$ в) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ г) $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ + \sin^2 15^\circ = 1 + \sin 30^\circ = 1 + 0,5 = \mathbf{1,5}$ **27.4.** а) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{4} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ б) $\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{\sqrt{2} + 1}{4}}$ в) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{4} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ г) $\frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos^2 \frac{\pi}{8} + 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \mathbf{-1}$