Контрольная работа по теме: «Первообразная. Интеграл». Вариант 1. 1. Доказать, что функция F(x) = x - cos x первообразная для f(x) = 1 + sin x, x ∈ (-∞; +∞)

1. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$: $F'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\\sin x) = 1 + \sin x$ Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. 2. Общий вид первообразной для $f(x) = x^2$: $F(x) = \frac{x^3}{3} + C$ Подставим координаты точки $A(3; 2)$, где $x=3$, $F(x)=2$: $2 = \frac{3^3}{3} + C \Rightarrow 2 = 9 + C \Rightarrow C = -7$ Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 7$. 3. Найдём неопределённый интеграл: $F(x) = \int (2x - 3x^2 + \sin 2x + 9) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{1}{2}\cos 2x + 9x + C = x^2 - x^3 - 0,5\cos 2x + 9x + C$ Ответ: $F(x) = x^2 - x^3 - 0,5\cos 2x + 9x + C$. 4. Найдем точки пересечения: $3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3$. $S = \int_0^3 (3x - x^2) dx = [\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^3 = (\frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3}) - 0 = 13,5 - 9 = 4,5$ Ответ: 4,5. 5. $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = [\text{tg } x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \text{tg } \frac{\pi}{4} - \text{tg }(-\frac{\pi}{4}) = 1 - (-1) = 2$ Ответ: 2. 6. $\int_1^9 \frac{dx}{x\sqrt{x}} = \int_1^9 x^{-1,5} dx = [\frac{x^{-0,5}}{-0,5}]_1^9 = [-\frac{2}{\sqrt{x}}|_1^9 = -\frac{2}{\sqrt{9}} - (-\frac{2}{\sqrt{1}}) = -\frac{2}{3} + 2 = 1\frac{1}{3}$ Ответ: $1\frac{1}{3}$. 7. Найдём разность функций: $f_1(x) - f_2(x) = (2x - x^2) - (x^2 - x) = 3x - 2x^2$. $S = \int_0^1 (3x - 2x^2) dx = [\frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_0^1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$ Ответ: $\frac{5}{6}$.