1. Найдите функцию y = f(x), первообразная которой равна F(x) на всей числовой прямой: F(x) = cos x + x^2/2 - 4. 2. Для функции f(x) = 3x^2 + 1 найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку M(0; 2). 3. Вычислите интегралы. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^2 - 6x + 9, y = x^2 + 4x + 4, y = 0.

### Вариант 1 **1. Найдите функцию $y = f(x)$, первообразная которой равна $F(x) = \cos x + \frac{x^2}{2} - 4$.** Для нахождения функции $f(x)$ нужно найти производную от её первообразной $F(x)$: $f(x) = F'(x) = (\cos x + \frac{x^2}{2} - 4)' = -\sin x + \frac{2x}{2} - 0 = -\sin x + x$. **Ответ:** $f(x) = x - \sin x$. **2. Для функции $f(x) = 3x^2 + 1$ найдите первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(0; 2)$.** 1) Найдём общий вид первообразной: $F(x) = \int (3x^2 + 1) dx = \frac{3x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C$. 2) Подставим координаты точки $M(0; 2)$ ($x=0, y=2$), чтобы найти $C$: $2 = 0^3 + 0 + C \Rightarrow C = 2$. **Ответ:** $F(x) = x^3 + x + 2$. **3. Вычислите интегралы:** а) $\int_2^5 4 dx = [4x]_2^5 = 4 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 20 - 8 = 12$. б) $\int_1^2 \frac{dx}{x^3} = \int_1^2 x^{-3} dx = [\frac{x^{-2}}{-2}]_1^2 = [-\frac{1}{2x^2}]_1^2 = (-\frac{1}{2 \cdot 2^2}) - (-\frac{1}{2 \cdot 1^2}) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = 0,375$. в) $\int_1^2 (3x^2 + x - 4) dx = [x^3 + \frac{x^2}{2} - 4x]_1^2 = (2^3 + \frac{2^2}{2} - 4 \cdot 2) - (1^3 + \frac{1^2}{2} - 4 \cdot 1) = (8 + 2 - 8) - (1 + 0,5 - 4) = 2 - (-2,5) = 4,5$. г) $\int_1^4 \frac{\sqrt{x}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_1^4 x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_1^4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [\sqrt{x^3}]_1^4 = \frac{1}{3} (\sqrt{4^3} - \sqrt{1^3}) = \frac{1}{3} (8 - 1) = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. **4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x^2 - 6x + 9$, $y = x^2 + 4x + 4$, $y = 0$.** 1) Упростим уравнения функций: $y = (x-3)^2$ и $y = (x+2)^2$. Это параболы с вершинами в точках $(3; 0)$ и $(-2; 0)$. $y=0$ — ось $Ox$. 2) Найдём точку пересечения парабол: $(x-3)^2 = (x+2)^2 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = x^2 + 4x + 4 \Rightarrow -10x = -5 \Rightarrow x = 0,5$. 3) Фигура ограничена снизу осью $Ox$, слева ветвью параболы $(x+2)^2$ на отрезке $[-2; 0,5]$, справа ветвью параболы $(x-3)^2$ на отрезке $[0,5; 3]$. 4) Площадь $S = \int_{-2}^{0,5} (x+2)^2 dx + \int_{0,5}^3 (x-3)^2 dx = [\frac{(x+2)^3}{3}]_{-2}^{0,5} + [\frac{(x-3)^3}{3}]_{0,5}^3 = (\frac{2,5^3}{3} - 0) + (0 - \frac{(-2,5)^3}{3}) = \frac{15,625}{3} + \frac{15,625}{3} = \frac{31,25}{3} = 10\frac{5}{12} \approx 10,417$. :::div .chart-container @chart-1:::