1. Найдите значение числового выражения: (12 - sqrt(80))^(1/3) * (12 + 80^(0.5))^(1/3)

Привет! Давай разберем задания из твоего варианта. **1.** Используем формулу $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $((12-\sqrt{80})(12+\sqrt{80}))^{1/3} = (12^2 - (\sqrt{80})^2)^{1/3} = (144 - 80)^{1/3} = 64^{1/3} = 4$. **Ответ: 4.** **2.** Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$: $\log_8 2 + \log_6 0,5 = \log_{2^3} 2 + \log_6 (1/2) = \frac{1}{3} \log_2 2 + \log_6 (1/2) = \frac{1}{3} + \log_6 \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \log_6 1 - \log_6 2 = \frac{1}{3} - \log_6 2$. **3.** $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$. Так как $\alpha \in (0,5\pi; \pi)$ (II четверть), $\sin \alpha > 0$. Значит, $\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0,2$. **Ответ: 0,2.** **4.** $\log_{16}(12x+8) < 1 \Rightarrow 0 < 12x+8 < 16^1$. $12x > -8 \Rightarrow x > -2/3$. $12x < 8 \Rightarrow x < 8/12 = 2/3$. Ответ: $x \in (-2/3; 2/3)$. **5.** $2(1-\sin^2 x) - 5\sin x = 5 \Rightarrow -2\sin^2 x - 5\sin x - 3 = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x + 5\sin x + 3 = 0$. Пусть $t = \sin x$, $|t| \le 1$. $2t^2 + 5t + 3 = 0$. Дискриминант $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1$. $t = \frac{-5 \pm 1}{4}$. $t_1 = -1$, $t_2 = -1,5$ (не подходит, так как $|t| \le 1$). $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\pi/2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **6.** $5 \cdot 4^{x+1} + 4^x \le 84 \Rightarrow 5 \cdot 4 \cdot 4^x + 4^x \le 84 \Rightarrow 20 \cdot 4^x + 4^x \le 84 \Rightarrow 21 \cdot 4^x \le 84$. $4^x \le 4 \Rightarrow x \le 1$. **7.** $\sqrt{x-2} = x-8$. ОДЗ: $x \ge 2$ и $x-8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8$. Возведем в квадрат: $x-2 = (x-8)^2 = x^2 - 16x + 64$. $x^2 - 17x + 66 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 6, x_2 = 11$. Проверка: $x=6$ не входит в ОДЗ ($6 < 8$). $x=11$ подходит: $\sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3; 11-8 = 3$. Верно. **Ответ: 11.** **8.** $y' = 3x^2 - 3$. Приравняем к 0: $3(x^2-1) = 0, x = \pm 1$. При переходе через $x=-1$ производная меняет знак с "+" на "-". Это точка максимума. **Ответ: -1.** **9.** Пусть катеты $a=10, b$, гипотенуза $c$. $r = \frac{a+b-c}{2} = 3 \Rightarrow a+b-c = 6 \Rightarrow 10+b-c = 6 \Rightarrow c = b+4$. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow 100 + b^2 = (b+4)^2 = b^2 + 8b + 16$. $8b = 84 \Rightarrow b = 10,5$. Гипотенуза $c = 10,5 + 4 = 14,5$. Радиус описанной окружности $R = c/2 = 14,5/2 = 7,25$. **Ответ: 7,25.** **10.** Ребра $a=3, b=2$. Третье ребро $c$. $S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 22$. $2(3\cdot 2 + 2c + 3c) = 22 \Rightarrow 6 + 5c = 11 \Rightarrow 5c = 5 \Rightarrow c = 1$. Диагональ $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{3^2+2^2+1^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}$. **Ответ: \sqrt{14}.**