Контрольная работа №1 Первообразная и интеграл Вариант 1 А1. Найдите общий вид первообразных для функции f(x)

### Контрольная работа №1. Первообразная и интеграл **Вариант 1** **А1. Общий вид первообразных $F(x) = \int f(x)dx$:** a) $f(x) = -5 \implies F(x) = -5x + C$ б) $f(x) = \sin \frac{x}{2} \implies F(x) = -2\cos \frac{x}{2} + C$ **А2. Первообразная через точку $M(1; -1)$:** 1. Находим общий вид: $F(x) = \int (3x^2 - 1)dx = x^3 - x + C$. 2. Подставляем координаты точки $M(1; -1)$: $-1 = 1^3 - 1 + C \implies -1 = 0 + C \implies C = -1$. **Ответ:** $F(x) = x^3 - x - 1$. **А3. Вычисление интегралов:** a) $\int\limits_{3}^{0} (4x^3 - 1)dx = [x^4 - x] \Big|_3^0 = (0^4 - 0) - (3^4 - 3) = 0 - (81 - 3) = -78$. б) $\int\limits_{\pi/6}^{\pi/3} \cos 2xdx = [\frac{1}{2}\sin 2x] \Big|_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{1}{2}(\sin \frac{2\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$. **В1. Площадь фигуры ($y = 6x - x^2$ и $y = x + 4$):** 1. Точки пересечения: $6x - x^2 = x + 4 \implies x^2 - 5x + 4 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 4$. 2. $S = \int\limits_{1}^{4} (6x - x^2 - (x + 4))dx = \int\limits_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4)dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x] \Big|_1^4 =$ $= (-\frac{64}{3} + 40 - 16) - (-\frac{1}{3} + 2,5 - 4) = (\frac{8}{3}) - (-\frac{11}{6}) = \frac{16 + 11}{6} = 4,5$. **Ответ:** 4,5. **В2. Площадь фигуры ($y = x^2 + 1$ и $y = 3 - x$):** 1. Точки пересечения: $x^2 + 1 = 3 - x \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 1$. 2. $S = \int\limits_{-2}^{1} (3 - x - (x^2 + 1))dx = \int\limits_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2)dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x] \Big|_{-2}^1 =$ $= (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7 + 20}{6} = 4,5$. **Ответ:** 4,5. **С1. Площадь фигуры ($y = \frac{5}{x}$ и $y = 6 - x$):** 1. Точки пересечения: $\frac{5}{x} = 6 - x \implies x^2 - 6x + 5 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 5$. 2. $S = \int\limits_{1}^{5} (6 - x - \frac{5}{x})dx = [6x - \frac{x^2}{2} - 5\ln|x|] \Big|_1^5 = (30 - 12,5 - 5\ln 5) - (6 - 0,5 - 0) = 17,5 - 5\ln 5 - 5,5 = 12 - 5\ln 5$. :::div .chart-container @chart-1::: **С2. Площадь фигуры ($y = \sqrt{x}$, $y = 2$, $x = 9$):** 1. Точка пересечения $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$. Фигура ограничена снизу прямой $y = 2$ на интервале $[4; 9]$. 2. $S = \int\limits_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2)dx = [\frac{2x^{3/2}}{3} - 2x] \Big|_4^9 = (\frac{2 \cdot 27}{3} - 18) - (\frac{2 \cdot 8}{3} - 8) = (18 - 18) - (\frac{16}{3} - 8) = 8 - 5\frac{1}{3} = 2\frac{2}{3}$. **Ответ:** $2\frac{2}{3}$.