1. Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на множестве R

1. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно проверить равенство $F'(x) = f(x)$: а) $F(x) = x^4 - 3, f(x) = 4x^3$ $F'(x) = (x^4 - 3)' = 4x^3 = f(x)$. **Доказано.** б) $F(x) = 5x - \cos x, f(x) = 5 + \sin x$ $F'(x) = (5x - \cos x)' = 5 - (-\sin x) = 5 + \sin x = f(x)$. **Доказано.** в) $F(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{x}, f(x) = \frac{1}{x^2}$ $F'(x) = (\frac{1}{3} - x^{-1})' = 0 - (-1) \cdot x^{-2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$. **Доказано.** 2. Для функции $f(x) = 4\sin x$: а) **Ответ: $F(x) = -4\cos x + C$** б) Найдём $C$, подставив координаты точки $A(\frac{\pi}{2}; 0)$: $0 = -4\cos(\frac{\pi}{2}) + C$ $0 = -4 \cdot 0 + C \Rightarrow C = 0$ **Ответ: $F(x) = -4\cos x$** 3. Вычислим интегралы: а) $\int_{1}^{4} \frac{2}{\sqrt{x}} dx = [4\sqrt{x}]_1^4 = 4\sqrt{4} - 4\sqrt{1} = 8 - 4 = 4$ **Ответ: 4** б) $\int_{0,25}^{0,5} \frac{dx}{x^2} = [-\frac{1}{x}]_{0,25}^{0,5} = -(\frac{1}{0,5} - \frac{1}{0,25}) = -(2 - 4) = 2$ **Ответ: 2** в) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x dx = [\frac{1}{2}\sin 2x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 0 = 0,5$ **Ответ: 0,5** 4. Площадь фигуры ограничена $y = x^2 - 1, y = 0, x = 1, x = 2$. На интервале $[1; 2]$ функция $x^2 - 1 \ge 0$. $S = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_1^2 = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ **Ответ: $1\frac{1}{3}$**