Вариант 1. 1. Докажите, что F(x) = x⁴ - 3sin x является первообразной для f(x) = 4x³ - 3cos x.

**Ответ:** 1. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$: $F'(x) = (x^4 - 3\sin x)' = 4x^3 - 3\cos x$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. 2. $\int (\frac{4}{x^2} + 3\sin x) dx = \int (4x^{-2} + 3\sin x) dx = \frac{4x^{-1}}{-1} - 3\cos x + C = -\frac{4}{x} - 3\cos x + C$. 3. а) $\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}} = [2\sqrt{x}]_1^4 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$. б) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x dx = [\frac{1}{2}\sin 2x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 0 = 0,5$. 4. Найдем точки пересечения $y = 1 - x^2$ и $y = 0$: $1 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. Пределы интегрирования от $x = -1$ до $x = 1$. $S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. 5. 1) Найдем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ в $x_0 = -2$: $f(-2) = 0,5(-2)^2 + 2 = 4$. $f'(x) = (0,5x^2 + 2)' = x \Rightarrow f'(-2) = -2$. $y_{кас} = 4 - 2(x + 2) = 4 - 2x - 4 = -2x$. 2) Площадь фигуры между $y = 0,5x^2 + 2$, $y = -2x$ и $x = 0$ на интервале $[-2; 0]$: $S = \int_{-2}^{0} (0,5x^2 + 2 - (-2x)) dx = \int_{-2}^{0} (0,5x^2 + 2x + 2) dx = [\frac{0,5x^3}{3} + x^2 + 2x]_{-2}^{0} = 0 - (\frac{0,5(-8)}{3} + 4 - 4) = -(-\frac{4}{3}) = 1\frac{1}{3}$. 6. 1) Найдем общее уравнение первообразной: $F(x) = \int (\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 x} + \sin 3x + \frac{1}{\pi}) dx = \sqrt{3}\text{tg } x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{x}{\pi} + C$. 2) Найдем $C$, используя точку $(0; -1)$: $-1 = \sqrt{3}\text{tg } 0 - \frac{1}{3}\cos 0 + \frac{0}{\pi} + C \Rightarrow -1 = 0 - \frac{1}{3} + 0 + C \Rightarrow C = -\frac{2}{3}$. $F(x) = \sqrt{3}\text{tg } x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{x}{\pi} - \frac{2}{3}$. 3) Вычислим значение в $x = \frac{\pi}{6}$: $F(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}\text{tg } \frac{\pi}{6} - \frac{1}{3}\cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi/6}{\pi} - \frac{2}{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 0 + \frac{1}{6} - \frac{2}{3} = 1 + \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = 1 - \frac{1}{2} = 0,5$.