Контрольная работа по теме «Интеграл и его применения. Системы уравнений»

**Ответ:** 1) Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$: $F'(x) = (e^{3x} + \cos x + x)' = (e^{3x})' + (\cos x)' + (x)' = 3e^{3x} - \sin x + 1$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на всей числовой оси. 2) Найдем общую первообразную для $f(x) = -3\sqrt{x} = -3x^{1/2}$: $F(x) = \int -3x^{1/2} dx = -3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = -2x\sqrt{x} + C$. Подставим координаты точки $A(0; 3/4)$: $3/4 = -2 \cdot 0\sqrt{0} + C \Rightarrow C = 3/4$. **Ответ:** $F(x) = -2x\sqrt{x} + 0,75$. 3) Вычислим площади фигур: а) $S = \int_{0}^{\pi/3} \cos x dx = \sin x \Big|_0^{\pi/3} = \sin\frac{\pi}{3} - \sin 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. **Ответ:** $\frac{\sqrt{3}}{2}$ кв. ед. б) Найдем точки пересечения графиков: $6x - x^2 = y$ и $-x^2 + 14x - 40 = y$. $6x - x^2 = -x^2 + 14x - 40 \Rightarrow 8x = 40 \Rightarrow x = 5$. Пересечение с $y = 9$: $6x - x^2 = 9 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$. $-x^2 + 14x - 40 = 9 \Rightarrow x^2 - 14x + 49 = 0 \Rightarrow (x-7)^2 = 0 \Rightarrow x = 7$. $S = \int_{3}^{5} (6x - x^2 - 9) dx + \int_{5}^{7} (-x^2 + 14x - 40 - 9) dx =$ $= (3x^2 - \frac{x^3}{3} - 9x) \Big|_3^5 + (-\frac{x^3}{3} + 7x^2 - 49x) \Big|_5^7 =$ $= (75 - \frac{125}{3} - 45) - (27 - 9 - 27) + (-\frac{343}{3} + 343 - 343) - (-\frac{125}{3} + 175 - 245) =$ $= (30 - 41\frac{2}{3}) + 9 - 114\frac{1}{3} - (-41\frac{2}{3} - 70) = -11\frac{2}{3} + 9 - 114\frac{1}{3} + 111\frac{2}{3} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$. **Ответ:** $2\frac{2}{3}$ кв. ед. 4) Решим систему: $\begin{cases} 2x^2 - 3xy + 2y^2 = 4 \\ 2x^2 + 3y^2 = 14 \end{cases}$ Вычтем из второго первое: $3xy + y^2 = 10 \Rightarrow x = \frac{10 - y^2}{3y}$. Подставим во второе: $2(\frac{10 - y^2}{3y})^2 + 3y^2 = 14 \Rightarrow 2\frac{100 - 20y^2 + y^4}{9y^2} + 3y^2 = 14$ $200 - 40y^2 + 2y^4 + 27y^4 = 126y^2 \Rightarrow 29y^4 - 166y^2 + 200 = 0$. Пусть $y^2 = t$: $29t^2 - 166t + 200 = 0$. $D = 166^2 - 4 \cdot 29 \cdot 200 = 27556 - 23200 = 4356 = 66^2$. $t_1 = \frac{166+66}{58} = 4; t_2 = \frac{166-66}{58} = \frac{100}{58} = \frac{50}{29}$. 1) $y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$. Если $y=2, x=\frac{10-4}{6}=1$. Если $y=-2, x=\frac{10-4}{-6}=-1$. 2) $y^2 = \frac{50}{29} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{50}{29}}$. Если $y = \sqrt{\frac{50}{29}}, x = \frac{10 - 50/29}{3\sqrt{50/29}} = \frac{240/29}{3\sqrt{50/29}} = \frac{80}{\sqrt{50 \cdot 29}} = \frac{80}{5\sqrt{58}} = \frac{16}{\sqrt{58}}$. Аналогично для $y = -\sqrt{\frac{50}{29}}, x = -\frac{16}{\sqrt{58}}$. **Ответ:** $(1; 2), (-1; -2), (\frac{16}{\sqrt{58}}; \sqrt{\frac{50}{29}}), (-\frac{16}{\sqrt{58}}; -\sqrt{\frac{50}{29}})$.