а) Решите уравнение cos x + √3 sin(3π/2 - x/2) + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

а) Решим уравнение $\cos x + \sqrt{3} \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) + 1 = 0$. 1. Применим формулу приведения: $\sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\cos \alpha$. Тогда $\sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) = -\cos \frac{x}{2}$. 2. Подставим в уравнение: $\cos x - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} + 1 = 0$. 3. Используем формулу двойного угла $\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$: $2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1 - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} + 1 = 0$ $2 \cos^2 \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0$ 4. Вынесем общий множитель за скобки: $\cos \frac{x}{2} (2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{3}) = 0$ 5. Рассмотрим два случая: - $\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ - $2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Отберем корни на отрезке $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right]$: 1. Для $x = \pi + 2\pi k$: - При $k = -2$: $x = \pi - 4\pi = -3\pi$ (входит, так как $-4\pi \le -3\pi \le -2,5\pi$). 2. Для $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$: - При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \approx -3,66\pi$ (входит). 3. Для $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi n$: - При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} \approx -4,33\pi$ (не входит). **Ответ: а) $\pi + 2\pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi, -\frac{11\pi}{3}$.**