Решите уравнение sqrt(2cos^3 x - sin^2 x - 2cos x - sin x) = sqrt(cos(pi/2 + x)). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4pi; -5pi/2].

**Ответ:** **а) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** **б) $-4\pi; -2,75\pi; -2,25\pi$ (или $-\frac{11\pi}{4}; -\frac{9\pi}{4}$)** **Решение:** **а)** Уравнение: $\sqrt{2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x} = \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}$ 1. По формуле приведения: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$. 2. Область допустимых значений (ОДЗ): $-\sin x \ge 0 \Rightarrow \sin x \le 0$. Это значит, что решения должны лежать в III или IV четвертях (включая границы). 3. Возведем обе части в квадрат: $2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x = -\sin x$ $2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x = 0$ 4. Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$: $2\cos^3 x - (1 - \cos^2 x) - 2\cos x = 0$ $2\cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$ 5. Разложим на множители методом группировки: $\cos^2 x(2\cos x + 1) - 1(2\cos x + 1) = 0$ $(2\cos x + 1)(\cos^2 x - 1) = 0$ $(2\cos x + 1)(\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$ 6. Получаем три случая: - $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. С учетом ОДЗ ($\sin x \le 0$) выбираем $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ (что совпадает с $-\frac{2\pi}{3}$ или $\frac{4\pi}{3}$). **Внимание:** В условии под корнем в левой части также должно быть неотрицательное выражение. Проверим $-\sin x$ (т.к. мы приравняли левую часть к ней). Если $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $-\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Подходит. - $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$. Тогда $\sin x = 0$. Условие $\sin x \le 0$ выполняется. - $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$. Тогда $\sin x = 0$. Условие $\sin x \le 0$ выполняется. *Заметим, что в исходном тексте под корнем может быть опечатка (знаки). Если решать строго по фото:* **б)** Отберем корни на отрезке $[-4\pi; -2,5\pi]$: - Из $x = 2\pi n$: при $n = -2$ получаем $-4\pi$. Подходит. - Из $x = \pi + 2\pi n$: при $n = -2$ получаем $-3\pi$. Подходит. - Из $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $-\frac{8\pi}{3} \approx -2,66\pi$. Подходит.