13. а) Решите уравнение: $(\cos x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3})\sqrt{\cos x} = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi; \frac{9\pi}{2}]$.

13. а) **Ответ: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (не входит в ОДЗ); $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$** **Решение:** Уравнение: $(\cos x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3})\sqrt{\cos x} = 0$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\cos x \ge 0$. Тангенс $\operatorname{tg} x$ определён, когда $\cos x \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $\cos x > 0$. 2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: а) $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$. Это значение входит в ОДЗ ($1 > 0$). $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) $\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$. $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Проверим условие $\cos x > 0$: Если $n$ чётное ($n=2m$), то $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} > 0$ — подходит. Если $n$ нечётное ($n=2m+1$), то $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$, $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} < 0$ — не подходит. Значит, из этой серии остаются только $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$. в) $\sqrt{\cos x} = 0 \Rightarrow \cos x = 0$. Это не входит в ОДЗ, так как тангенс в этих точках не определён. Итоговые корни: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$. б) **Ответ: $4\pi; \frac{11\pi}{3}$** Найдем корни на отрезку $[3\pi; \frac{9\pi}{2}]$ (что равно $[3\pi; 4,5\pi]$): 1. Для серии $x = 2\pi k$: При $k=2$: $x = 4\pi$. Число $4\pi$ входит в отрезок ($3\pi < 4\pi < 4,5\pi$). 2. Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$: При $m=2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \approx 3,66\pi$. Входит в отрезок. При $m=1$ или $m=3$ значения выходят за пределы отрезка.