Решите уравнение $2 \sin 2x + 2 \sin(-x) - 2 \cos(-x) + 1 = 0$ и укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.

а) Для начала, давай вспомним свойства чётности и нечётности тригонометрических функций: * $\sin(-x) = -\sin x$ * $\cos(-x) = \cos x$ Также, используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Подставляем эти формулы в наше уравнение: $$2\sin 2x + 2\sin(-x) - 2\cos(-x) + 1 = 0$$ $$2(2\sin x \cos x) + 2(-\sin x) - 2(\cos x) + 1 = 0$$ $$4\sin x \cos x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы можно было вынести общий множитель: $$(4\sin x \cos x - 2\sin x) - (2\cos x - 1) = 0$$ $$2\sin x (2\cos x - 1) - 1 (2\cos x - 1) = 0$$ $$(2\sin x - 1)(2\cos x - 1) = 0$$ Это уравнение равносильно двум простым уравнениям: 1. $2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in Z$. 2. $2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$ Корни этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in Z$. б) Теперь нам нужно найти корни, которые попадают в отрезок $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$. Давай переведём границы отрезка в более удобный вид, чтобы их сравнивать с нашими корнями: $\frac{5\pi}{2} = 2,5\pi$ $4\pi$ Рассмотрим каждый вид корней по отдельности. **Для $\sin x = \frac{1}{2}$:** 1. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ * Если $n=0$, $x = \frac{\pi}{6}$ (не попадает в отрезок $2,5\pi \le x \le 4\pi$) * Если $n=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi + 12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \approx 2,16\pi$ (не попадает) * Если $n=2$, $x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi + 24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \approx 4,16\pi$ (не попадает, больше $4\pi$) 2. $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ * Если $n=0$, $x = \frac{5\pi}{6} \approx 0,83\pi$ (не попадает) * Если $n=1$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx 2,83\pi$ Проверим: $2,5\pi \le 2,83\pi \le 4\pi$. Да, этот корень подходит. * Если $n=2$, $x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{5\pi + 24\pi}{6} = \frac{29\pi}{6} \approx 4,83\pi$ (не попадает, больше $4\pi$) **Для $\cos x = \frac{1}{2}$:** 1. $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ * Если $k=0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 0,33\pi$ (не попадает) * Если $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi + 6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \approx 2,33\pi$ (не попадает) * Если $k=2$, $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{\pi + 12\pi}{3} = \frac{13\pi}{3} \approx 4,33\pi$ (не попадает, больше $4\pi$) 2. $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ * Если $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{-\pi + 6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \approx 1,67\pi$ (не попадает) * Если $k=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{-\pi + 12\pi}{3} = \frac{11\pi}{3} \approx 3,67\pi$ Проверим: $2,5\pi \le 3,67\pi \le 4\pi$. Да, этот корень подходит. Корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$: $\frac{17\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{3}$. **Ответ: б) $\frac{17\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{3}$**