а) Решим уравнение:
$$ \frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{\cos \left(2x - \frac{\pi}{2}\right)} = 3 $$
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$ \cos \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) \neq 0 $$
Используем формулу приведения: $$\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)$$
Значит, $$\sin(2x) \neq 0$$ $$\Rightarrow 2x \neq \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$
Также, учитывая, что в числителе есть $\cos x$, то $\cos x$ не должен быть равен нулю, если он является общим множителем.
Преобразуем числитель:
$$ 4\cos^3 x - 6\cos x = 2\cos x (2\cos^2 x - 3) $$
Используем формулу косинуса двойного угла: $$\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 \Rightarrow 2\cos^2 x = \cos(2x) + 1$$
Подставим это в числитель:
$$ 2\cos x (\cos(2x) + 1 - 3) = 2\cos x (\cos(2x) - 2) $$
Используем формулу синуса двойного угла: $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$
Теперь заменим знаменатель и числитель в исходном уравнении:
$$ \frac{2\cos x (\cos(2x) - 2)}{\sin(2x)} = 3 $$
$$ \frac{2\cos x (\cos(2x) - 2)}{2\sin x \cos x} = 3 $$
Сокращаем $2\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$):
$$ \frac{\cos(2x) - 2}{\sin x} = 3 $$
Получаем:
$$ \cos(2x) - 2 = 3\sin x $$
$$ 1 - 2\sin^2 x - 2 = 3\sin x $$
$$ -2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0 $$
Умножим на -1:
$$ 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0 $$
Сделаем замену $y = \sin x$. Тогда:
$$ 2y^2 + 3y + 1 = 0 $$
Найдем корни квадратного уравнения:
$$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$
$$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4} $$
$$ y_1 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $$
$$ y_2 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$
Вернемся к замене:
1) $$\sin x = -1$$
$$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$
2) $$\sin x = -\frac{1}{2}$$
$$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $$
$$ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $$
Проверим условия $$\sin(2x) \neq 0$$ и $$\cos x \neq 0$$
Для $$\sin x = -1$$:
$\cos x = 0$, что недопустимо. Также $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 2(-1)(0) = 0$$, что также недопустимо.
Значит, решение $$\sin x = -1$$ не подходит.
Для $$\sin x = -\frac{1}{2}$$:
$\cos x = \pm\sqrt{1 - \sin^2 x} = \pm\sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$$.
$$\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 2\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \mp\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$$.
Эти решения подходят.
**Ответ:**
$$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $$
$$ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $$
б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$.
1) Для $$\sin x = -\frac{1}{2}$$:
$$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $$
Подставляем значения $k$:
При $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
Проверим принадлежность отрезку: $$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$$. Значит, $$\frac{9\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$$. Подходит.
При $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$.
Проверим принадлежность отрезку: $$\frac{23\pi}{6} < \frac{24\pi}{6} = 4\pi$$. Подходит.
2) Для $$\sin x = -\frac{1}{2}$$:
$$ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m $$
Подставляем значения $m$:
При $m = 2$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$.
Проверим принадлежность отрезку: $$\frac{9\pi}{6} < \frac{19\pi}{6} < \frac{24\pi}{6}$$. Подходит.
При $m = 3$: $x = -\frac{5\pi}{6} + 6\pi = \frac{31\pi}{6}$. Это больше $4\pi = \frac{24\pi}{6}$, не подходит.
**Ответ:**
$$ \frac{11\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6} $$
