Решите уравнение $4^{2\cos x + 0,5} + 9^{2\cos x + 0,5} - 5 \cdot 36^{\cos x} = 0$.

а) Решим уравнение $4^{2\cos x + 0,5} + 9^{2\cos x + 0,5} - 5 \cdot 36^{\cos x} = 0$. Перепишем уравнение: $4^{2\cos x} \cdot 4^{0,5} + 9^{2\cos x} \cdot 9^{0,5} - 5 \cdot 36^{\cos x} = 0$ $4^{2\cos x} \cdot 2 + 9^{2\cos x} \cdot 3 - 5 \cdot 36^{\cos x} = 0$ $2 \cdot (4^{\cos x})^2 + 3 \cdot (9^{\cos x})^2 - 5 \cdot (4 \cdot 9)^{\cos x} = 0$ $2 \cdot (4^{\cos x})^2 + 3 \cdot (9^{\cos x})^2 - 5 \cdot 4^{\cos x} \cdot 9^{\cos x} = 0$ Разделим всё уравнение на $(9^{\cos x})^2$: (так как $9^{\cos x} \neq 0$) $2 \cdot \left(\frac{4^{\cos x}}{9^{\cos x}}\right)^2 + 3 - 5 \cdot \frac{4^{\cos x}}{9^{\cos x}} = 0$ $2 \cdot \left(\left(\frac{4}{9}\right)^{\cos x}\right)^2 - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{\cos x} + 3 = 0$ Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^{\cos x}$. Тогда $2t^2 - 5t + 3 = 0$. Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$ $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ Возвращаемся к замене: Случай 1: $t = 1$ $\left(\frac{4}{9}\right)^{\cos x} = 1$ $\left(\frac{4}{9}\right)^{\cos x} = \left(\frac{4}{9}\right)^0$ $\cos x = 0$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Случай 2: $t = \frac{3}{2}$ $\left(\frac{4}{9}\right)^{\cos x} = \frac{3}{2}$ $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^{\cos x} = \frac{3}{2}$ $\left(\frac{2}{3}\right)^{2\cos x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$ $2\cos x = -1$ $\cos x = -\frac{1}{2}$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$ б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$. Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: $-3\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le -\frac{3\pi}{2}$ $-3 \le \frac{1}{2} + n \le -\frac{3}{2}$ $-3 - \frac{1}{2} \le n \le -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}$ $-\frac{7}{2} \le n \le -\frac{4}{2}$ $-3,5 \le n \le -2$ Так как $n$ - целое число, то $n = -3, -2$. При $n = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$ При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $-3\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{3\pi}{2}$ $-3 \le \frac{2}{3} + 2n \le -\frac{3}{2}$ $-3 - \frac{2}{3} \le 2n \le -\frac{3}{2} - \frac{2}{3}$ $-\frac{11}{3} \le 2n \le -\frac{9+4}{6}$ $-\frac{11}{3} \le 2n \le -\frac{13}{6}$ $-\frac{11}{6} \le n \le -\frac{13}{12}$ $-1,83... \le n \le -1,08...$ Так как $n$ - целое число, то $n = -1$. При $n = -1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$ Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $-3\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{3\pi}{2}$ $-3 \le -\frac{2}{3} + 2n \le -\frac{3}{2}$ $-3 + \frac{2}{3} \le 2n \le -\frac{3}{2} + \frac{2}{3}$ $-\frac{7}{3} \le 2n \le -\frac{9-4}{6}$ $-\frac{7}{3} \le 2n \le -\frac{5}{6}$ $-\frac{7}{6} \le n \le -\frac{5}{12}$ $-1,16... \le n \le -0,41...$ Так как $n$ - целое число, то подходящих значений нет. Корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$, это $-\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$, $-\frac{4\pi}{3}$. **Ответ:** $-\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{4\pi}{3}$, $-\frac{3\pi}{2}$