Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат, диагональ которого равна $12\sqrt{2}$ дм. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна $8\sqrt{3}$ дм. Вычислите градусную меру двугранного угла $D_1ABD$.

Question

Вопрос:

Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат, диагональ которого равна $12\sqrt{2}$ дм. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна $8\sqrt{3}$ дм. Вычислите градусную меру двугранного угла $D_1ABD$.

$Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат, диагональ которого равна $12\sqrt{2}$ дм. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна $8\sqrt{3}$ дм. Вычислите градусную меру двугранного угла $D_1ABD$.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 30^{\circ}** **Решение:** 1. Найдём сторону основания $ABCD$. Так как основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной $a$ и диагональю $d = 12\sqrt{2}$ дм, то по теореме Пифагора ($a^2 + a^2 = d^2$): $2a^2 = (12\sqrt{2})^2$ $2a^2 = 144 \cdot 2$ $a^2 = 144$ $a = 12$ дм. 2. Найдём высоту параллелепипеда $h$ (ребро $DD_1$). Рассмотрим боковую грань, которая является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. По условию диагональ боковой грани $d_{бок} = 8\sqrt{3}$ дм. По теореме Пифагора: $h^2 + a^2 = d_{бок}^2$ $h^2 + 12^2 = (8\sqrt{3})^2$ $h^2 + 144 = 64 \cdot 3$ $h^2 + 144 = 192$ $h^2 = 48$ $h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ дм. 3. Определим линейный угол двугранного угла $D_1ABD$. Линия пересечения плоскостей $(D_1AB)$ и $(ABC)$ — это прямая $AB$. Так как $D_1D \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах: $DA \perp AB$ (сторона квадрата), значит и $D_1A \perp AB$. Следовательно, угол $\angle D_1AD$ является линейным углом искомого двугранного угла. 4. Из прямоугольного треугольника $D_1AD$ найдём тангенс этого угла: $\text{tg}(\angle D_1AD) = \frac{D_1D}{AD} = \frac{h}{a} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 5. Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, составляет $30^{\circ}$.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения