Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $d$ и составляет с боковой гранью угол $30^\circ$. Найдите его объем.

1. Пусть сторона основания квадрата равна $a$, а высота параллелепипеда равна $h$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$. Диагональ основания $d_{осн} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $d$, диагональю боковой грани $d_{бок}$, и ребром основания $a$, которое перпендикулярно этой боковой грани. Угол между диагональю параллелепипеда и боковой гранью равен $30^\circ$. Это означает, что угол между диагональю параллелепипеда и проекцией этой диагонали на боковую грань равен $30^\circ$. Проекцией диагонали параллелепипеда на боковую грань является диагональ этой боковой грани. Но в задаче сказано, что диагональ составляет угол с боковой гранью. Здесь речь идет об угле между диагональю параллелепипеда и плоскостью боковой грани. Проведем перпендикуляр из одной вершины на другую боковую грань. Длина этого перпендикуляра будет равна стороне основания $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный: - диагональю параллелепипеда $d$ - высотой параллелепипеда $h$ - диагональю основания $d_{осн}$ Из условия известно, что диагональ параллелепипеда $d$ составляет угол $30^\circ$ с боковой гранью. Пусть одна из вершин основания $A$. Пусть диагональ параллелепипеда $A_1C$. Боковая грань $BCC_1B_1$. Проекцией $A_1C$ на плоскость боковой грани $BCC_1B_1$ будет $B_1C$. В таком случае $A_1B_1$ перпендикулярна плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Значит, треугольник $A_1B_1C$ — прямоугольный с прямым углом при $B_1$. Угол между $A_1C$ и боковой гранью $BCC_1B_1$ — это угол $A_1CB_1 = 30^\circ$. Из этого прямоугольного треугольника $A_1B_1C$: $$A_1B_1 = d \cdot \sin(30^\circ)$$ Так как $A_1B_1 = a$, то $$a = d \cdot \frac{1}{2} = \frac{d}{2}$$ Также из этого треугольника: $$B_1C = d \cdot \cos(30^\circ)$$ $$B_1C = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $B_1C$ — это диагональ боковой грани. Боковая грань является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. $$B_1C^2 = a^2 + h^2$$ $$ \left( d \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left( \frac{d}{2} \right)^2 + h^2$$ $$ \frac{3d^2}{4} = \frac{d^2}{4} + h^2$$ $$h^2 = \frac{3d^2}{4} - \frac{d^2}{4} = \frac{2d^2}{4} = \frac{d^2}{2}$$ $$h = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$$ Объем прямоугольного параллелепипеда $V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h$. $$V = \left( \frac{d}{2} \right)^2 \cdot \frac{d\sqrt{2}}{2}$$ $$V = \frac{d^2}{4} \cdot \frac{d\sqrt{2}}{2}$$ $$V = \frac{d^3\sqrt{2}}{8}$$ **Ответ:** $$V = \frac{d^3\sqrt{2}}{8}$$