1. (1 балл) Найдите значение выражения 6^sqrt(3)+1 . 6^2-sqrt(3)

Решим задания по порядку: 1. Найдем значение выражения: $6^{\sqrt{3}+1} \cdot 6^{2-\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}+1+2-\sqrt{3}} = 6^{1+2} = 6^3 = 216$. 2. Решим уравнение: $2^{2x-20} = 64$ $2^{2x-20} = 2^6$ $2x - 20 = 6$ $2x = 26$ $x = 13$. 3. Найдем значение выражения: $\frac{84}{5^{\log_5 7}} = \frac{84}{7} = 12$ (по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$). 4. Найдем $\sin \alpha$: Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Так как $\alpha \in \text{I четверти}$, то $\sin \alpha > 0$, значит $\sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0,8$. 5. Исследуем функцию $y = 4x^2 - 2x^4$: Найдем производную $y' = 8x - 8x^3 = 8x(1 - x^2) = 8x(1-x)(1+x)$. Приравняем производную к нулю: $8x(1-x)(1+x) = 0$. Критические точки: $x = 0, x = 1, x = -1$. Методом интервалов определяем знаки производной: - При $x < -1$ (например, $x=-2$): $y' = 8(-2)(1-4) = -16(-3) > 0$ (функция возрастает). - При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0,5$): $y' = 8(-0,5)(1-0,25) = -4(0,75) < 0$ (функция убывает). - При $0 < x < 1$ (например, $x=0,5$): $y' = 8(0,5)(1-0,25) = 4(0,75) > 0$ (функция возрастает). - При $x > 1$ (например, $x=2$): $y' = 8(2)(1-4) = 16(-3) < 0$ (функция убывает). Ответ: функция возрастает на $(-\infty, -1] \cup [0, 1]$, убывает на $[-1, 0] \cup [1, +\infty)$. Точки экстремума: $x = -1$ (максимум, $y(-1) = 4 - 2 = 2$), $x = 0$ (минимум, $y(0) = 0$), $x = 1$ (максимум, $y(1) = 4 - 2 = 2$). 6. Найдем объем правильной треугольной пирамиды: Объем $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$. Площадь основания правильного треугольника со стороной $a=1$: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Высота $h = 5$. $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{5\sqrt{3}}{12}$.