В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали BD₁ и A₁C взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, AB=3 см. Найдите объем параллелепипеда.

В прямом параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Пусть $h$ — высота параллелепипеда, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали основания $ABCD$. 1. Из прямоугольных треугольников $\triangle BDD_1$ и $\triangle ACC_1$ по теореме Пифагора: $BD_1^2 = d_1^2 + h^2 \Rightarrow 6^2 = d_1^2 + h^2 \Rightarrow d_1^2 = 36 - h^2$ $A_1C^2 = d_2^2 + h^2 \Rightarrow 8^2 = d_2^2 + h^2 \Rightarrow d_2^2 = 64 - h^2$ 2. В любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(AB^2 + BC^2)$ Подставим значения: $(36 - h^2) + (64 - h^2) = 2(3^2 + BC^2)$ $100 - 2h^2 = 18 + 2BC^2 \Rightarrow 2BC^2 = 82 - 2h^2 \Rightarrow BC^2 = 41 - h^2$ 3. Так как диагонали $BD_1$ и $A_1C$ взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение векторов равно 0. Введем координаты: $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;BC;0)$, $A_1(0;0;h)$. Тогда $C(3;BC;0)$, $D_1(0;BC;h)$, $B(3;0;0)$, $A_1(0;0;h)$. Вектор $\vec{BD_1} = \{0-3; BC-0; h-0\} = \{-3; BC; h\}$ Вектор $\vec{A_1C} = \{3-0; BC-0; 0-h\} = \{3; BC; -h\}$ $\vec{BD_1} \cdot \vec{A_1C} = (-3) \cdot 3 + BC \cdot BC + h \cdot (-h) = -9 + BC^2 - h^2 = 0$ $BC^2 - h^2 = 9$ 4. Составим систему из уравнений для $BC^2$: $\begin{cases} BC^2 = 41 - h^2 \\ BC^2 = 9 + h^2 \end{cases} \Rightarrow 41 - h^2 = 9 + h^2 \Rightarrow 2h^2 = 32 \Rightarrow h^2 = 16 \Rightarrow h = 4$ Тогда $BC^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow BC = 5$. 5. Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h = (AB \cdot BC) \cdot h = (3 \cdot 5) \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$. **Ответ: 60 см³**