Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°. Угол между плоскостями ABC и A1CD равен 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

**Ответ: $4\sqrt{2}$ см.** Решение: 1. Рассмотрим основание параллелепипеда — параллелограмм $ABCD$. Нам дано, что $AD = 8$ см и $\angle BAD = 30^{\circ}$. 2. Проведём высоту $DH$ параллелограмма из вершины $D$ к стороне $AB$. В прямоугольном треугольнике $ADH$ сторона $AD$ является гипотенузой. Найдём высоту $DH$: $$DH = AD \cdot \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ (см)}$$ 3. Угол между плоскостями $ABC$ и $A_1CD$ — это линейный угол двугранного угла. Так как параллелепипед прямой, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания. По теореме о трёх перпендикулярах, если мы проведём перпендикуляр из точки $D$ к прямой $CD$, то угол будет формироваться иначе. Однако в данной задаче удобнее рассмотреть высоту основания к прямой $CD$. В параллелограмме высота к $CD$ будет равна высоте к $AB$, то есть $h = 4$ см. 4. Пусть $DK$ — перпендикуляр, опущенный из $D$ на $CD$. Но так как $ABCD$ — параллелограмм, перпендикуляром из $D$ к прямой $CD$ является высота, проведённая к этой стороне. Обозначим её $h = 4$ см. Тогда угол между плоскостями $ABC$ (основание) и $A_1CD$ (сечение) — это угол $\angle D_1KD$, где $D_1D$ — боковое ребро. По условию этот угол равен $45^{\circ}$. 5. В прямоугольном треугольнике $D_1DK$ (где $\angle D = 90^{\circ}$): $$DD_1 = DK \cdot \tan(45^{\circ}) = 4 \cdot 1 = 4 \text{ (см)}$$ **Допущение:** В тексте задания на фото не полностью виден вопрос, но исходя из стандартных задач такого типа и данных, требуется найти боковое ребро. Если под «найти боковое ребро параллелепипеда» подразумевается $AA_1$, то оно равно $DD_1$. Однако, перепроверив геометрию: высота к стороне $CD$ в параллелограмме вычисляется через сторону $AD$ и синус угла между ними: $h = AD \sin(\angle D) = 8 \cdot \sin(30^{\circ}) = 4$. В треугольнике с углом $45^{\circ}$ катеты равны. Боковое ребро равно $4$.