1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна d и составляет с боковой гранью угол 30°. Найдите его объем.

1. **Ответ: $\frac{d^{3}}{4}$** Пусть $a$ — сторона квадратного основания, $h$ — высота параллелепипеда. Диагональ $d$ образует угол $30^{\circ}$ с боковой гранью. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю параллелепипеда, диагональю боковой грани и стороной основания $a$, сторона $a$ лежит против угла $30^{\circ}$. $a = d \cdot \sin 30^{\circ} = d \cdot \frac{1}{2} = \frac{d}{2}$ Теперь найдём высоту $h$ из прямоугольного треугольника, образованного диагональю $d$, диагональю основания ($a\sqrt{2}$) и высотой $h$: $d^{2} = (a\sqrt{2})^{2} + h^{2}$ $d^{2} = 2a^{2} + h^{2}$ $d^{2} = 2 \cdot (\frac{d}{2})^{2} + h^{2} = \frac{d^{2}}{2} + h^{2}$ $h^{2} = d^{2} - \frac{d^{2}}{2} = \frac{d^{2}}{2} \Rightarrow h = \frac{d}{\sqrt{2}}$ Объем параллелепипеда $V = S_{осн} \cdot h = a^{2} \cdot h$: $V = (\frac{d}{2})^{2} \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d^{2}}{4} \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d^{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{d^{3}\sqrt{2}}{8}$ **Допущение:** В школьных задачах такого типа часто под углом с боковой гранью подразумевают проекцию на грань. Если $a = d \cdot \sin 30^{\circ}$ верно, то расчет выше. 2. **Ответ: $24\sqrt{3}$** 1) Найдём площадь основания (прямоугольный треугольник $ABC$): $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ 2) Рассмотрим треугольник $AB_{1}C$. Так как призма прямая, $BC \perp (AA_{1}C_{1}C)$, следовательно $BC \perp AC$ и $B_{1}C \perp AC$ (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, $\triangle AB_{1}C$ — прямоугольный с прямым углом $C$. Из $\triangle AB_{1}C$ найдем $B_{1}C$ через $\angle AB_{1}C = 30^{\circ}$: $ctg 30^{\circ} = \frac{B_{1}C}{AC} \Rightarrow B_{1}C = AC \cdot ctg 30^{\circ} = 4 \cdot \sqrt{3}$ 3) Из прямоугольного треугольника $B_{1}BC$ найдем высоту призмы $h = BB_{1}$: $BB_{1}^{2} = B_{1}C^{2} - BC^{2} = (4\sqrt{3})^{2} - (2\sqrt{3})^{2} = 16 \cdot 3 - 4 \cdot 3 = 48 - 12 = 36$ $h = BB_{1} = 6$ 4) Найдём объем призмы: $V = S_{ABC} \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 6 = 24\sqrt{3}$