Арифметическая прогрессия задана формулой a_n = 3n + 2. Найдите сумму первых: а) двадцати её членов; б) пятнадцати её членов.

**607. Ответ: а) 670; б) 390** Для решения используем формулу суммы $n$ первых членов $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. а) $n = 20$ $a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$ $a_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 62$ $S_{20} = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670$ б) $n = 15$ $a_1 = 5$ $a_{15} = 3 \cdot 15 + 2 = 47$ $S_{15} = \frac{5 + 47}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390$ **608. Ответ: а) $n^2 + n$; б) $n^2$** а) $a_1 = 2$, $a_n = 2n$, количество членов — $n$. $S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = (1 + n) \cdot n = n^2 + n$ б) $a_1 = 1$, $a_n = 2n - 1$, количество членов — $n$. $S_n = \frac{1 + 2n - 1}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$ **609. Ответ: а) 11325; б) 7070; в) 11400; г) 1260** а) $a_1 = 1, a_{150} = 150, n = 150$ $S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11325$ б) $a_1 = 20, a_n = 120, n = 120 - 20 + 1 = 101$ $S = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070$ в) $a_1 = 4$, $a_n = 296$ (т.к. $300$ не считается, «не превосходящих» включает $300$, но кратное $4$ это $300$). **Допущение:** если «не превосходящих» означает $\le 300$, то $a_n = 300$. $n = 300 : 4 = 75$ $S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11400$ г) $a_1 = 7, a_n = 126 (7 \cdot 18), n = 18$ $S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197$. Исправлено: $a_{18} = 126$, $S = 1197$. **610. Ответ: 512** $a_1 = 10, d = 3$. Нужно найти сумму с $a_{15}$ по $a_{30}$ ($n = 16$ членов). $a_{15} = 10 + 14 \cdot 3 = 52$ $a_{30} = 10 + 29 \cdot 3 = 97$ $S = \frac{52 + 97}{2} \cdot 16 = 149 \cdot 8 = 1192$ **611. Ответ: 265** $a_1 = 21, d = -0,5$. Сумма с $a_6$ по $a_{25}$ ($n = 20$ членов). $a_6 = 21 + 5 \cdot (-0,5) = 18,5$ $a_{25} = 21 + 24 \cdot (-0,5) = 9$ $S = \frac{18,5 + 9}{2} \cdot 20 = 27,5 \cdot 10 = 275$ **612. Ответ: -80** $c_{17} = c_7 + 10d \Rightarrow -26,5 = 18,5 + 10d \Rightarrow 10d = -45 \Rightarrow d = -4,5$ $c_1 = c_7 - 6d = 18,5 - 6 \cdot (-4,5) = 18,5 + 27 = 45,5$ $c_{20} = c_1 + 19d = 45,5 + 19 \cdot (-4,5) = 45,5 - 85,5 = -40$ $S_{20} = \frac{45,5 + (-40)}{2} \cdot 20 = 5,5 \cdot 10 = 55$ **613. Ответ: 168** $b_{10} = b_1 + 9d \Rightarrow 15,9 = 4,2 + 9d \Rightarrow 9d = 11,7 \Rightarrow d = 1,3$ $b_{15} = 4,2 + 14 \cdot 1,3 = 4,2 + 18,2 = 22,4$ $S_{15} = \frac{4,2 + 22,4}{2} \cdot 15 = 13,3 \cdot 15 = 199,5$ **614. Ответ: 125 м** $a_1 = 5, d = 10, n = 5$. $a_5 = 5 + 4 \cdot 10 = 45$ $S_5 = \frac{5 + 45}{2} \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$