1. Последовательность -16; -13; ... является арифметической прогрессией. Найдите сумму первых n ее членов, если n равно: а) 6; б) 16; в) 25; г) k+1.

**1. С-27. Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии** Дана последовательность: $-16; -13; \dots$ Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = -16$, а разность $d = -13 - (-16) = 3$. Формула суммы: $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$. а) при $n = 6$: $$S_6 = \frac{2 \cdot (-16) + 3(6 - 1)}{2} \cdot 6 = \frac{-32 + 15}{2} \cdot 6 = -17 \cdot 3 = -51$$ б) при $n = 16$: $$S_{16} = \frac{2 \cdot (-16) + 3(16 - 1)}{2} \cdot 16 = (-32 + 45) \cdot 8 = 13 \cdot 8 = 104$$ в) при $n = 25$: $$S_{25} = \frac{2 \cdot (-16) + 3(25 - 1)}{2} \cdot 25 = \frac{-32 + 72}{2} \cdot 25 = 20 \cdot 25 = 500$$ г) при $n = k + 1$: $$S_{k+1} = \frac{2 \cdot (-16) + 3(k + 1 - 1)}{2} \cdot (k + 1) = \frac{-32 + 3k}{2} \cdot (k + 1) = \frac{(3k - 32)(k + 1)}{2}$$ **2. Найдите сумму первых двенадцати членов ($n=12$):** а) $a_1 = 4, d = 2$: $$S_{12} = \frac{2 \cdot 4 + 2(12 - 1)}{2} \cdot 12 = (8 + 22) \cdot 6 = 30 \cdot 6 = 180$$ б) $a_1 = -5, d = 3$: $$S_{12} = \frac{2 \cdot (-5) + 3(12 - 1)}{2} \cdot 12 = (-10 + 33) \cdot 6 = 23 \cdot 6 = 138$$ в) $a_1 = 16,5, d = -1,5$: $$S_{12} = \frac{2 \cdot 16,5 - 1,5(12 - 1)}{2} \cdot 12 = (33 - 16,5) \cdot 6 = 16,5 \cdot 6 = 99$$ г) $a_1 = 1 + \sqrt{3}, d = -\sqrt{3}$: $$S_{12} = \frac{2(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}(12 - 1)}{2} \cdot 12 = (2 + 2\sqrt{3} - 11\sqrt{3}) \cdot 6 = (2 - 9\sqrt{3}) \cdot 6 = 12 - 54\sqrt{3}$$ **3. Сумма первых пяти ($n=5$), сорока ($n=40$), $k$ членов для $a_n = 3n + 2$:** Найдем $a_1 = 3(1) + 2 = 5$. Найдем $d = a_2 - a_1 = (3 \cdot 2 + 2) - 5 = 8 - 5 = 3$. $n=5$: $a_5 = 3(5) + 2 = 17 \Rightarrow S_5 = \frac{5 + 17}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55$ $n=40$: $a_{40} = 3(40) + 2 = 122 \Rightarrow S_{40} = \frac{5 + 122}{2} \cdot 40 = 127 \cdot 20 = 2540$ $n=k$: $S_k = \frac{2 \cdot 5 + 3(k - 1)}{2} \cdot k = \frac{10 + 3k - 3}{2} \cdot k = \frac{(3k + 7)k}{2}$