Решите задачи на формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

1. Дано: $a_1 = -16$; $a_2 = -13$. Найдём разность: $d = a_2 - a_1 = -13 - (-16) = 3$. Формула суммы: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. а) $S_6 = \frac{2 \cdot (-16) + 3(6-1)}{2} \cdot 6 = \frac{-32 + 15}{2} \cdot 6 = -17 \cdot 3 = -51$. б) $S_{16} = \frac{2 \cdot (-16) + 3(16-1)}{2} \cdot 16 = \frac{-32 + 45}{2} \cdot 16 = 13 \cdot 8 = 104$. в) $S_{25} = \frac{2 \cdot (-16) + 3(25-1)}{2} \cdot 25 = \frac{-32 + 72}{2} \cdot 25 = 20 \cdot 25 = 500$. г) $S_{k+1} = \frac{2 \cdot (-16) + 3(k+1-1)}{2} \cdot (k+1) = \frac{-32 + 3k}{2} \cdot (k+1) = \frac{3k^2 - 29k - 32}{2}$. 2. Используем формулу $S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = (2a_1 + 11d) \cdot 6$. а) $S_{12} = (2 \cdot 4 + 11 \cdot 2) \cdot 6 = (8 + 22) \cdot 6 = 30 \cdot 6 = 180$. б) $S_{12} = (2 \cdot (-5) + 11 \cdot 3) \cdot 6 = (-10 + 33) \cdot 6 = 23 \cdot 6 = 138$. в) $S_{12} = (2 \cdot 16,5 + 11 \cdot (-1,5)) \cdot 6 = (33 - 16,5) \cdot 6 = 16,5 \cdot 6 = 99$. г) $S_{12} = (2(1 + \sqrt{3}) + 11(-\sqrt{3})) \cdot 6 = (2 + 2\sqrt{3} - 11\sqrt{3}) \cdot 6 = (2 - 9\sqrt{3}) \cdot 6 = 12 - 54\sqrt{3}$. 3. $a_n = 3n + 2$. Найдём $a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$. $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. а) $a_5 = 3 \cdot 5 + 2 = 17$; $S_5 = \frac{5 + 17}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55$. б) $a_{40} = 3 \cdot 40 + 2 = 122$; $S_{40} = \frac{5 + 122}{2} \cdot 40 = 127 \cdot 20 = 2540$. в) $S_k = \frac{5 + (3k + 2)}{2} \cdot k = \frac{3k + 7}{2} \cdot k = \frac{3k^2 + 7k}{2}$. 4. а) $a_1=1, a_{80}=80, n=80$. $S_{80} = \frac{1 + 80}{2} \cdot 80 = 81 \cdot 40 = 3240$. б) Двузначные: $10, 11, ..., 99$. $a_1=10, a_n=99, n=90$. $S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$. в) Четные до 100: $2, 4, ..., 100$. $a_1=2, a_n=100, n=50$. $S_{50} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 = 102 \cdot 25 = 2550$. 5. а) $a_7 = a_1 + 6d \Rightarrow 24 = 8 + 6d \Rightarrow 6d = 16 \Rightarrow d = \frac{8}{3}$. $S_{10} = \frac{2 \cdot 8 + 9 \cdot \frac{8}{3}}{2} \cdot 10 = \frac{16 + 24}{2} \cdot 10 = 20 \cdot 10 = 200$. б) $\begin{cases} a_1 + 3d = 16 \\ a_1 + 11d = 88 \end{cases} \Rightarrow 8d = 72 \Rightarrow d = 9$. Тогда $a_1 = 16 - 3 \cdot 9 = -11$. $S_{10} = \frac{2 \cdot (-11) + 9 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{-22 + 81}{2} \cdot 10 = 59 \cdot 5 = 295$. 6. $a_1 = 15, d = 2, n = 26$. Найдём путь $S_{26}$. $S_{26} = \frac{2 \cdot 15 + 25 \cdot 2}{2} \cdot 26 = (30 + 50) \cdot 13 = 80 \cdot 13 = 1040$. **Ответ: 1040 м**.