Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

376. Найди сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член $a_1 = 10$ и разность $d = 3$. Чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии с $n$-го по $m$-й включительно, можно использовать формулу: $S_{n..m} = S_m - S_{n-1}$. Сначала найдем сумму $S_{30}$ первых тридцати членов прогрессии. Для этого нам понадобится $a_{30}$. $a_n = a_1 + (n-1)d$ $a_{30} = 10 + (30-1) imes 3 = 10 + 29 imes 3 = 10 + 87 = 97$ Теперь найдем $S_{30}$: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ $S_{30} = \frac{30(10 + 97)}{2} = \frac{30 \times 107}{2} = 15 \times 107 = 1605$ Теперь найдем сумму $S_{14}$ первых четырнадцати членов прогрессии. Для этого нам понадобится $a_{14}$. $a_{14} = 10 + (14-1) imes 3 = 10 + 13 \times 3 = 10 + 39 = 49$ Теперь найдем $S_{14}$: $S_{14} = \frac{14(10 + 49)}{2} = \frac{14 \times 59}{2} = 7 \times 59 = 413$ Искомая сумма с пятнадцатого по тридцатый член: $S_{15..30} = S_{30} - S_{14} = 1605 - 413 = 1192$ **Ответ: 1192** 377. Найди сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый член $a_1 = 21$ и разность $d = -0,5$. Чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии с $n$-го по $m$-й включительно, можно использовать формулу: $S_{n..m} = S_m - S_{n-1}$. Сначала найдем сумму $S_{25}$ первых двадцати пяти членов прогрессии. Для этого нам понадобится $a_{25}$. $a_n = a_1 + (n-1)d$ $a_{25} = 21 + (25-1) \times (-0,5) = 21 + 24 \times (-0,5) = 21 - 12 = 9$ Теперь найдем $S_{25}$: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ $S_{25} = \frac{25(21 + 9)}{2} = \frac{25 \times 30}{2} = 25 \times 15 = 375$ Теперь найдем сумму $S_5$ первых пяти членов прогрессии. Для этого нам понадобится $a_5$. $a_5 = 21 + (5-1) \times (-0,5) = 21 + 4 \times (-0,5) = 21 - 2 = 19$ Теперь найдем $S_5$: $S_5 = \frac{5(21 + 19)}{2} = \frac{5 \times 40}{2} = 5 \times 20 = 100$ Искомая сумма с шестого по двадцать пятый член: $S_{6..25} = S_{25} - S_5 = 375 - 100 = 275$ **Ответ: 275** 378. Найди сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(c_n)$, если $c_7 = 18,5$ и $c_{17} = -26,5$. Для начала найдем первый член $c_1$ и разность $d$ арифметической прогрессии. Мы знаем, что $c_n = c_1 + (n-1)d$. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} c_7 = c_1 + (7-1)d \\ c_{17} = c_1 + (17-1)d \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 18,5 = c_1 + 6d \\ -26,5 = c_1 + 16d \end{cases} $$ Вычтем первое уравнение из второго: $(-26,5) - 18,5 = (c_1 + 16d) - (c_1 + 6d)$ $-45 = 10d$ $d = -4,5$ Теперь подставим $d$ в первое уравнение, чтобы найти $c_1$: $18,5 = c_1 + 6 \times (-4,5)$ $18,5 = c_1 - 27$ $c_1 = 18,5 + 27 = 45,5$ Теперь найдем сумму двадцати первых членов $S_{20}$. Для этого нам понадобится $c_{20}$. $c_{20} = c_1 + (20-1)d = 45,5 + 19 \times (-4,5) = 45,5 - 85,5 = -40$ И теперь найдем $S_{20}$: $S_n = \frac{n(c_1 + c_n)}{2}$ $S_{20} = \frac{20(45,5 + (-40))}{2} = \frac{20 \times 5,5}{2} = 10 \times 5,5 = 55$ **Ответ: 55**