Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если: 1) a1 = 1, an = 20, n = 50;

Для решения этих задач воспользуемся основными формулами суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: 1) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ 2) $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$ **252. Найти сумму $n$ первых членов:** 1) $a_1=1, a_n=20, n=50$ $S_{50} = \frac{1 + 20}{2} \cdot 50 = \frac{21}{2} \cdot 50 = 21 \cdot 25 = 525$ **Ответ: 525** 2) $a_1=1, a_n=200, n=100$ $S_{100} = \frac{1 + 200}{2} \cdot 100 = 201 \cdot 50 = 10050$ **Ответ: 10050** 3) $a_1=-1, a_n=-40, n=20$ $S_{20} = \frac{-1 + (-40)}{2} \cdot 20 = -41 \cdot 10 = -410$ **Ответ: -410** 4) $a_1=2, a_n=100, n=50$ $S_{50} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 = 102 \cdot 25 = 2550$ **Ответ: 2550** **253. Сумма всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно:** Это арифметическая прогрессия, где $a_1=2, a_n=98, d=1$. Количество членов: $n = 98 - 2 + 1 = 97$. $S_{97} = \frac{2 + 98}{2} \cdot 97 = 50 \cdot 97 = 4850$ **Ответ: 4850** **254. Сумма всех нечётных чисел от 1 до 133 включительно:** Здесь $a_1=1, a_n=133, d=2$. Найдем $n$: $133 = 1 + (n-1) \cdot 2 \Rightarrow 132 = 2(n-1) \Rightarrow 66 = n-1 \Rightarrow n = 67$. $S_{67} = \frac{1 + 133}{2} \cdot 67 = 67 \cdot 67 = 4489$ **Ответ: 4489** **255. Сумма 12 первых членов:** 1) $a_1=-5, d=0,5, n=12$ $S_{12} = \frac{2 \cdot (-5) + (12-1) \cdot 0,5}{2} \cdot 12 = (-10 + 5,5) \cdot 6 = -4,5 \cdot 6 = -27$ **Ответ: -27** 2) $a_1=\frac{1}{2}, d=-3, n=12$ $S_{12} = \frac{2 \cdot 0,5 + 11 \cdot (-3)}{2} \cdot 12 = (1 - 33) \cdot 6 = -32 \cdot 6 = -192$ **Ответ: -192** **256. Найти сумму $n$ первых членов:** 1) 9; 13; 17; ... при $n=11$. Здесь $a_1=9, d=13-9=4$. $S_{11} = \frac{2 \cdot 9 + 10 \cdot 4}{2} \cdot 11 = \frac{18 + 40}{2} \cdot 11 = 29 \cdot 11 = 319$ **Ответ: 319** 2) -16; -10; -4; ... при $n=12$. Здесь $a_1=-16, d=-10 - (-16)=6$. $S_{12} = \frac{2 \cdot (-16) + 11 \cdot 6}{2} \cdot 12 = (-32 + 66) \cdot 6 = 34 \cdot 6 = 204$ **Ответ: 204**