В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите углы A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30 градусов.

**1. Ответ: $\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 30^{\circ}$** Решение: 1) По условию один угол прямой ($90^{\circ}$), а другой $30^{\circ}$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит третий угол: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. 2) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то против самой большой стороны $AC$ лежит угол $B = 90^{\circ}$, против средней $BC$ — угол $A = 60^{\circ}$, а против меньшей $AB$ — угол $C = 30^{\circ}$. **2. Ответ: $\angle B = 25^{\circ}, \angle C = 65^{\circ}$** Решение: 1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$: $\angle B + \angle C = 90^{\circ}$. 2) Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. 3) $x + x + 40^{\circ} = 90^{\circ} \Rightarrow 2x = 50^{\circ} \Rightarrow x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$). 4) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. **3. Ответ: $90^{\circ}, 45^{\circ}, 45^{\circ}$** Решение: 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. 2) $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. 3) В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$, тогда $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. *(Примечание: в условии задачи может быть опечатка в буквах, если рассматривать стандартные задачи на биссектрису из прямого угла)*. **4*. Ответ: 21 см, 21 см, 8 см ИЛИ 12 см, 12 см, 25 см (невозможен)** Решение: Пусть стороны $a, a$ и $b$. Рассмотрим два случая: 1) Основание $b$ меньше боковой стороны $a$ на 13 см: $b = a - 13$. $P = 2a + (a - 13) = 50 \Rightarrow 3a = 63 \Rightarrow a = 21, b = 8$. (Треугольник существует: $21+21 > 8$) 2) Боковая сторона $a$ меньше основания $b$ на 13 см: $a = b - 13$. $P = 2(b - 13) + b = 50 \Rightarrow 3b - 26 = 50 \Rightarrow 3b = 76 \Rightarrow b = 25\frac{1}{3}, a = 12\frac{1}{3}$. Проверка неравенства треугольника: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} = 24\frac{2}{3}$, что меньше $25\frac{1}{3}$. Такой треугольник не существует. Итоговые стороны: 21 см, 21 см, 8 см.