В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найти углы A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30 градусов.

1. В треугольнике сумма углов равна $180^{\circ}$. По условию один угол $90^{\circ}$, второй $30^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$. Распределяем углы: $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$. Ответ: $\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 30^{\circ}$. 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ} \Rightarrow 2x = 50^{\circ} \Rightarrow x = 25^{\circ}$. $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. Ответ: $\angle B = 25^{\circ}, \angle C = 65^{\circ}$. 3. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. Ответ: $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$. 4. Пусть одна сторона $x$, другая $x - 13$. Возможны два случая: 1) Основание $x$, боковые стороны по $x - 13$: $x + 2(x - 13) = 50 \Rightarrow 3x - 26 = 50 \Rightarrow 3x = 76 \Rightarrow x = 25\frac{1}{3}$. Стороны: $25\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3}$ см. (Сумма боковых сторон $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} < 25\frac{1}{3}$, треугольник не существует). 2) Боковые стороны по $x$, основание $x - 13$: $2x + (x - 13) = 50 \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21$. Стороны: $21$ см, $21$ см, $21 - 13 = 8$ см. ($21 + 21 > 8$ — существует). Ответ: 21 см, 21 см, 8 см. 5. Пусть $\angle B = 3x$, тогда $\angle A = x$. Внешний угол при вершине $A$ равен $180^{\circ} - x$. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^{\circ} - 3x$. Уравнение: $(180^{\circ} - x) - (180^{\circ} - 3x) = 40^{\circ} \Rightarrow 2x = 40^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$. $\angle A = 20^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}$. $\angle C = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 60^{\circ}) = 100^{\circ}$. Ответ: $20^{\circ}, 60^{\circ}, 100^{\circ}$. 6. В $\triangle ABC$: $\angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. В $\triangle CBD$: $CB = CD$ (по условию), $\angle C = 90^{\circ}$. Значит, он равнобедренный прямоугольный. $\angle CBD = \angle CDB = (180^{\circ} - 90^{\circ}) : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle ABD$: $\angle A = 20^{\circ}$. $\angle ADB = 180^{\circ} - \angle CDB = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ (смежные). $\angle ABD = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 135^{\circ}) = 25^{\circ}$. Ответ: $20^{\circ}, 135^{\circ}, 25^{\circ}$.