В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

1. **Ответ: $\angle A = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$** По условию $AB < BC < AC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей — меньший. Значит, $\angle C < \angle A < \angle B$ — это неверно, так как против $AC$ (самой большой стороны) лежит $\angle B$, против $BC$ лежит $\angle A$, против $AB$ лежит $\angle C$. Следовательно: $\angle C < \angle A < \angle B$. Так как один угол $90^{\circ}$, а другой $30^{\circ}$, то третий угол: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. Распределяем по возрастанию: $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$. 2. **Ответ: $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$** Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + x + 40^{\circ} = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. 3. **Ответ: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$, $\angle BDC = 115^{\circ}$** В $\triangle ABC$: $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle BDC = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BCD) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. 4*. **Ответ: 21 см, 21 см, 8 см или 12 см, 12 см, 25 см (не существует)** **Допущение:** Рассмотрим два случая, так как не указано, какая именно сторона меньше. Случай 1: Боковая сторона $x$, основание $x - 13$. $x + x + (x - 13) = 50$ $3x = 63 \Rightarrow x = 21$. Стороны: 21, 21, 8. (Существует: $21+8 > 21$) Случай 2: Основание $x$, боковая сторона $x - 13$. $x + 2(x - 13) = 50$ $3x - 26 = 50 \Rightarrow 3x = 76 \Rightarrow x = 25\frac{1}{3}$. Стороны: $25\frac{1}{3}$, $12\frac{1}{3}$, $12\frac{1}{3}$. Проверка: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} = 24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$ (Треугольник не существует по неравенству треугольника).