Вариант 2. 1. В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

**Ответ:** 1. **$\angle A = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$** 2. **$\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$** 3. **$\angle BCD = 45^{\circ}$, $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BDC = 115^{\circ}$** 4. **11 см, 11 см, 24 см или 18 см, 18 см, 14 см** **Решение:** 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$ — это неверно, так как $\angle B$ должен быть напротив $AC$, $\angle A$ напротив $BC$, $\angle C$ напротив $AB$. Порядок сторон: $AB(C) < BC(A) < AC(B)$. Значит, $\angle C < \angle A < \angle B$. Один угол $90^{\circ}$ (самый большой, значит $\angle B = 90^{\circ}$), другой $30^{\circ}$ (самый маленький, значит $\angle C = 30^{\circ}$). $\angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + x + 40^{\circ} = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. 3. В $\triangle ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$): $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. $\angle B = 20^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 20^{\circ}) = 115^{\circ}$. 4. **Случай 1:** Боковая сторона меньше основания на 13 см. Пусть боковая сторона $x$, основание $x + 13$. $x + x + (x + 13) = 50 \Rightarrow 3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$ (нецелое, проверим другой вариант). **Случай 2:** Основание меньше боковой стороны на 13 см. Пусть боковая сторона $x$, основание $x - 13$. $x + x + (x - 13) = 50 \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21$. Стороны: 21, 21, 8. **Допущение:** Если под «другой» имеется в виду сравнение любой стороны с любой. Пусть стороны $a, a, b$. 1) $a = b - 13$: $2(b - 13) + b = 50 \Rightarrow 3b = 76 \Rightarrow b = 25\frac{1}{3}$ (стороны $12\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}, 25\frac{1}{3}$ — не подходит, $12.3+12.3 < 25.3$). 2) $b = a - 13$: $2a + (a - 13) = 50 \Rightarrow 3a = 63 \Rightarrow a = 21, b = 8$. (21, 21, 8). Пересчитаем по тексту: «одна из сторон на 13 меньше другой». Если $x$ и $y$ — стороны, и $2x + y = 50$. А) $y = x - 13$: $3x - 13 = 50 \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21, y = 8$. Стороны: 21, 21, 8. Б) $x = y - 13$: $2(y - 13) + y = 50 \Rightarrow 3y - 26 = 50 \Rightarrow 3y = 76 \Rightarrow y = 25\frac{1}{3}$. В) $y = x + 13$: $3x + 13 = 50 \Rightarrow 3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$. Г) $x = y + 13$: $2y + 26 + y = 50 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8, x = 21$. Стороны: 21, 21, 8.