Найдите стороны треугольника. В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите углы треугольника.

1. В $\triangle ABC$ $AB < BC < AC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, $\angle C < \angle A < \angle B$. Так как один угол прямой ($90^{\circ}$), а другой $30^{\circ}$, то третий угол: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. Распределяем углы по возрастанию: $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$. Ответ: $\angle A=60^{\circ}, \angle B=90^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$. 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ} \Rightarrow 2x = 50^{\circ} \Rightarrow x = 25^{\circ}$. $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. Ответ: $\angle B=25^{\circ}, \angle C=65^{\circ}$. 3. В $\triangle ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$), $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса $\angle C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$, $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. Ответ: $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$. 4. Допущение: основание может быть как больше, так и меньше боковой стороны. Рассмотрим 2 случая: Случай 1: Боковая сторона $x$, основание $x - 13$. $x + x + (x - 13) = 50 \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21$. Стороны: 21 см, 21 см, 8 см. (Существует: $21+8 > 21$) Случай 2: Боковая сторона $x$, основание $x + 13$. $x + x + (x + 13) = 50 \Rightarrow 3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$. Стороны: $12\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3}$ см, $25\frac{1}{3}$ см. (Не существует: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} < 25\frac{1}{3}$) Ответ: 21 см, 21 см, 8 см.