1. В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$. Один угол прямой ($90^{\circ}$), другой $30^{\circ}$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит третий угол: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. Расставим их по возрастанию: $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$. **Ответ: $\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 30^{\circ}$.** 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. **Ответ: $\angle B = 25^{\circ}, \angle C = 65^{\circ}$.** 3. В треугольнике $ABC$ $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам: $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В треугольнике $BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$, тогда $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. **Ответ: $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$.** 4. Рассмотрим два случая: 1) Основание $x$, боковая сторона $x + 13$. Периметр: $x + 2(x + 13) = 50 \Rightarrow 3x + 26 = 50 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x = 8$. Стороны: 8 см, 21 см, 21 см (существует, т.к. $8+21 > 21$). 2) Боковая сторона $x$, основание $x + 13$. Периметр: $2x + (x + 13) = 50 \Rightarrow 3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$. Стороны: $12\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3}$ см, $25\frac{1}{3}$ см (не существует, т.к. $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} < 25\frac{1}{3}$). **Ответ: 8 см, 21 см, 21 см.**