В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найти угол A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30 градусов.

1. **Ответ: $\angle A = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$** По условию $AB < BC < AC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей — меньший. Значит, $\angle C < \angle A < \angle B$ — это неверно, так как против $AC$ лежит $\angle B$, против $BC$ лежит $\angle A$, против $AB$ лежит $\angle C$. Следовательно: $\angle C < \angle A < \angle B$. Так как один угол прямой ($90^{\circ}$), а другой $30^{\circ}$, то третий угол равен: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. Расставим углы по возрастанию: $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$. Получаем: $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$. 2. **Ответ: $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$** Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. 3. **Ответ: $\angle BCD = 45^{\circ}$, $\angle CBD = 20^{\circ}$, $\angle BDC = 115^{\circ}$** В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 70^{\circ}$, значит $\angle B = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle CBD = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$. 4. **Ответ: 21 см, 21 см, 8 см или 12,33 см, 12,33 см, 25,33 см (не подходит)** **Допущение:** Рассматриваем два случая для равнобедренного треугольника. Случай 1: Основание $x$, боковая сторона $x + 13$. $x + 2(x + 13) = 50$ $3x + 26 = 50$ $3x = 24$ $x = 8$ (основание), стороны: 8 см, 21 см, 21 см. (Условие $21+21 > 8$ верно). Случай 2: Боковая сторона $x$, основание $x + 13$. $2x + (x + 13) = 50$ $3x = 37$ $x = 12\frac{1}{3}$ (боковая сторона), основание $25\frac{1}{3}$. (Условие $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} > 25\frac{1}{3}$ неверно: $24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$). Подходит только первый вариант: 21 см, 21 см и 8 см.