Вариант III. 1. В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите угол A, угол B и угол C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Если один острый угол равен $30^\circ$, то другой равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. По условию $AB < BC < AC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей — меньший. Значит, $\angle C < \angle A < \angle B$. Самый большой угол — прямой ($90^\circ$), самый маленький — $30^\circ$. **Ответ: $\angle C = 30^\circ$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 90^\circ$.** 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^\circ$. $x + (x + 40^\circ) = 90^\circ$ $2x = 50^\circ$ $x = 25^\circ$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$. **Ответ: $\angle B = 25^\circ, \angle C = 65^\circ$.** 3. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) найдем $\angle B$: $90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. $CD$ — биссектриса прямого угла, значит $\angle BCD = 90^\circ : 2 = 45^\circ$. В $\triangle BCD$ сумма углов $180^\circ$: $\angle BDC = 180^\circ - (20^\circ + 45^\circ) = 115^\circ$. **Ответ: $20^\circ, 45^\circ, 115^\circ$.** 4. Допущение: рассмотрим два случая (сторона на 13 см меньше может быть как основанием, так и боковой стороной). Пусть $a$ — боковая сторона, $b$ — основание. $P = 2a + b = 50$. 1) Если основание меньше боковой стороны: $b = a - 13$. $2a + (a - 13) = 50 \Rightarrow 3a = 63 \Rightarrow a = 21, b = 21 - 13 = 8$. (Треугольник существует: $21+21 > 8$) 2) Если боковая сторона меньше основания: $a = b - 13$. $2(b - 13) + b = 50 \Rightarrow 3b - 26 = 50 \Rightarrow 3b = 76 \Rightarrow b = 25\frac{1}{3}, a = 25\frac{1}{3} - 13 = 12\frac{1}{3}$. (Треугольник существует: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} < 25\frac{1}{3}$ — нет, $24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$, неравенство треугольника не выполняется). **Ответ: 21 см, 21 см, 8 см.**