В треугольнике ABC AB > BC > AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.

### Вариант 1 1. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Два угла даны: $120^{\circ}$ и $40^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - 120^{\circ} - 40^{\circ} = 20^{\circ}$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB > BC > AC$, то $\angle C > \angle A > \angle B$. Значит, $\angle C = 120^{\circ}$, $\angle A = 40^{\circ}$, $\angle B = 20^{\circ}$. Ответ: $\angle A = 40^{\circ}$, $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle C = 120^{\circ}$. 2. $\angle A = 50^{\circ}$. Сумма остальных углов: $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = 12x$. $x + 12x = 130 \Rightarrow 13x = 130 \Rightarrow x = 10^{\circ}$. $\angle B = 10^{\circ}$, $\angle C = 12 \cdot 10^{\circ} = 120^{\circ}$. Ответ: $\angle B = 10^{\circ}$, $\angle C = 120^{\circ}$. 3. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 35^{\circ}$. $CD$ — высота, значит $\angle CDA = 90^{\circ}$. В $\triangle ABC$: $\angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$. В $\triangle ACD$: $\angle ADC = 90^{\circ}$, $\angle CAD = 55^{\circ}$. $\angle ACD = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$. Ответ: $90^{\circ}$, $55^{\circ}$, $35^{\circ}$. 4. Пусть боковая сторона $x$, основание $y$. Случай 1: Боковая сторона больше основания на 12 см. $y = x - 12$. $2x + (x - 12) = 45 \Rightarrow 3x = 57 \Rightarrow x = 19, y = 7$. (Стороны: 19, 19, 7 — существует). Случай 2: Основание больше боковой стороны на 12 см. $y = x + 12$. $2x + (x + 12) = 45 \Rightarrow 3x = 33 \Rightarrow x = 11, y = 23$. ($11 + 11 < 23$ — не существует). Ответ: 19 см, 19 см, 7 см. ### Вариант 2 1. Даны углы $90^{\circ}$ и $30^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Условие $AB < BC < AC$ означает, что $\angle C < \angle A < \angle B$. Значит, $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$. Ответ: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. 2. $\angle A = 90^{\circ}$. $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40) = 90 \Rightarrow 2x = 50 \Rightarrow x = 25^{\circ}$. $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. Ответ: $\angle B = 25^{\circ}$, $\angle C = 65^{\circ}$. 3. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 70^{\circ}$, тогда $\angle B = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, значит $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. Ответ: $20^{\circ}$, $45^{\circ}$, $115^{\circ}$. 4. Пусть стороны $x, x, y$. Случай 1: Боковая сторона меньше на 13 см. $x = y - 13$. $2(y - 13) + y = 50 \Rightarrow 3y = 76 \Rightarrow y = 25\frac{1}{3}, x = 12\frac{1}{3}$. (Существует). Случай 2: Основание меньше на 13 см. $y = x - 13$. $2x + (x - 13) = 50 \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21, y = 8$. (Существует). Ответ: $12\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3}$ см, $25\frac{1}{3}$ см или 21 см, 21 см, 8 см.